1953 AMC 12 第 24 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1953 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

若 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是小于 $10$ 的正整数，则在下列哪个条件下， $(10a+b)(10a+c)$ 等于 $100a(a+1)+bc$ ：

If $a,$ $b$ and $c$ are positive integers less than $10,$ then $(10a+b)(10a+c)$ equals $100a(a+1)+bc$ if:

$b+c=10$

$b=c$

$a+b=10$

$a=b$

$a+b+c=10$

答案：A

知识点：algebraic identity 位值 expansion

难度评级：1470

小提示：

展开等式两边，并约去相同的项

Expand both sides and cancel their common terms

大提示：

只剩下 $10a(b+c)$ 与 $100a$ 需要相等

The only unmatched terms are $10a(b+c)$ and $100a$

解答：

展开后，从等式两边消去 $100a^2+bc$ ，得到 $10a(b+c)=100a\text{。}$ 因为 $a$ 是正数，所以这等价于 $b+c=10$ 。

因此，正确答案是 A。

Expanding and canceling $100a^2+bc$ from both sides leaves $10a(b+c)=100a.$ Since $a$ is positive, this is equivalent to $b+c=10.$

Thus, the correct answer is A.

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