Question

递增数是指每一位数字都大于其左边所有数字的正整数，例如 $34689$ 。共有 $\binom95=126$ 个五位递增数。将这些数从小到大排列后，列表中的第 $97$ 个数不含数字

A rising number, such as $34689,$ is a positive integer each digit of which is larger than each of the digits to its left. There are $\binom95=126$ five-digit rising numbers. When these numbers are arranged from smallest to largest, the $97$ th number in the list does not contain the digit

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

答案：B

知识点：组合 lexicographic order

难度评级：2120

小提示：

先数出以 $1$ 开头的递增数有多少个，再数以 $23$ 开头的

Count how many rising numbers begin with $1$ , then with $23$

大提示：

排除这两组后，列出最前面的几个以 $24$ 开头的数

After those blocks, list the first few numbers beginning with $24$

解答：

以 $1$ 开头的共有 $\binom84=70$ 个。在以 $2$ 开头的数中，最前面的 $\binom63=20$ 个以 $23$ 开头，占据第 $71$ 至第 $90$ 位。因此总列表中的第 $97$ 个数，是以 $24$ 开头的第七个数： $\begin{gathered} 24567,24568,24569,24578,\\ 24579,24589,24678 \end{gathered}\text{。}$ 数 $24678$ 不含 $5$ ，所以正确答案是 B。

There are $\binom84=70$ beginning with $1.$ Among those beginning with $2,$ the first $\binom63=20$ begin with $23,$ occupying positions $71$ – $90.$ Thus the $97$ th overall is the seventh beginning with $24:$ $\begin{gathered} 24567,24568,24569,24578,\\ 24579,24589,24678. \end{gathered}$ The number $24678$ omits $5,$ so B is correct.

1997 AMC 12 第 24 题

答案：B

难度评级：2120

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题