Question

若 $a \ge b \gt 1$ ， $\log_a(\frac{a}{b}) + \log_b(\frac{b}{a})$ 的最大可能值是多少？

If $a \ge b \gt 1,$ what is the largest possible value of $\log_a(\frac{a}{b}) + \log_b(\frac{b}{a})?$

$-2$

$0$

$2$

$3$

$4$

答案：B

知识点：对数算术-几何平均不等式

难度评级：2170

小提示：

化简为 $2-\log_a b-\log_b a$ 。

Simplify to $2-\log_a b-\log_b a$

大提示：

令 $c=\log_a b\gt0$ ，使用 $c+\dfrac1c\ge2$ 。

With $c=\log_a b\gt0,$ use $c+\dfrac1c\ge2$

解答：

展开得 $\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right) \end{aligned}\text{。}$

令 $c=\log_a b\gt0$ 。由 AM-GM， $c+\dfrac1c\ge2$ ，所以原式至多为 $0$ 。

当 $c=1$ ，即 $a=b$ 时取等号，因此最大值为 $0$ 。

所以正确答案是 B。

Expand: $\begin{aligned} &\log_a\dfrac ab+\log_b\dfrac ba \\ &\quad {}=(1-\log_a b)+(1-\log_b a) \\ &\quad {}=2-\left(\log_a b+\log_b a\right). \end{aligned}$

Let $c=\log_a b\gt0.$ Since $c+\dfrac1c\ge2$ by AM-GM, the expression is at most $0.$

Equality holds when $c=1,$ that is, when $a=b,$ so the largest value is $0.$

Thus, the correct answer is B.

2003 AMC 12A 第 24 题

答案：B

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题