LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

2021 AMC 12B Spring 第 24 题

先试着解答 2021 AMC 12B Spring 第 24 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2021 AMC 12B Spring 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

设 ABCDABCD 是面积为 1515 的平行四边形。点 PP 和 QQ 分别是 AA 和 CC 在直线 BDBD 上的投影；点 RR 和 SS 分别是 BB 和 DD 在直线 ACAC 上的投影。见图，图中也显示了这些点的相对位置。

假设 PQ=6PQ=6，RS=8RS=8，并令 dd 表示 BD‾\overline{BD} 的长度，即 ABCDABCD 的较长对角线。则 d2d^2 可写成 m+npm+n\sqrt p 的形式，其中 mm，nn，和 pp 是正整数，且 pp 不被任何质数的平方整除。m+n+pm+n+p 是多少？

Let ABCDABCD be a parallelogram with area 15.15. Points PP and QQ are the projections of AA and C,C, respectively, onto the line BD;BD; and points RR and SS are the projections of BB and D,D, respectively, onto the line AC.AC. See the figure, which also shows the relative locations of these points.

Suppose PQ=6PQ=6 and RS=8,RS=8, and let dd denote the length of BD‾,\overline{BD}, the longer diagonal of ABCD.ABCD. Then d2d^2 can be written in the form m+np,m+n\sqrt p, where m,m, n,n, and pp are positive integers and pp is not divisible by the square of any prime. What is m+n+p?m+n+p?

8181

8989

9797

105105

113113

答案：A
知识点：平行四边形三角学面积
难度评级：2480
小提示：

设 θ\theta 为两条对角线的夹角；则 PQ=ACcos⁡θPQ=AC\cos\theta，RS=BDcos⁡θRS=BD\cos\theta。

Let θ\theta be the angle between the diagonals; then PQ=ACcos⁡θPQ=AC\cos\theta and RS=BDcos⁡θRS=BD\cos\theta

大提示：

面积为 12⋅AC⋅BDsin⁡θ=15\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15，结合 ACcos⁡θ=6AC\cos\theta=6，BDcos⁡θ=8BD\cos\theta=8。

The area is 12⋅AC⋅BDsin⁡θ=15,\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15, which combines with ACcos⁡θ=6,AC\cos\theta=6, BDcos⁡θ=8BD\cos\theta=8

解答：

设两条对角线交于 OO，夹角为 θ\theta。从 AA 和 CC 到 BDBD 的垂足关于 OO 对称，所以 PQ=ACcos⁡θ=6PQ=AC\cos\theta=6；同理 RS=BDcos⁡θ=8RS=BD\cos\theta=8。

平行四边形面积为 12⋅AC⋅BDsin⁡θ=15\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15，所以 AC⋅BDsin⁡θ=30AC\cdot BD\sin\theta=30。于是 48sin⁡θcos⁡2θ=30\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30，得 sin⁡θcos⁡2θ=58\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58。

令 s=sin⁡θs=\sin\theta，则 8s=5(1−s2)8s=5(1-s^2)，解得 s=−4+415s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5}，所以 cos⁡2θ=1−s2=8(41−4)25\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}。

因此 d2=BD2d^2=BD^2 =64cos⁡2θ=\dfrac{64}{\cos^2\theta} =8(41+4)=8(\sqrt{41}+4) =32+841=32+8\sqrt{41}，所以 m+n+p=32+8+41=81m+n+p=32+8+41=81。

所以正确答案是 A。

Let the diagonals meet at OO at angle θ.\theta. The feet of the perpendiculars from AA and CC to BDBD are symmetric about O,O, so PQ=ACcos⁡θ=6;PQ=AC\cos\theta=6; likewise RS=BDcos⁡θ=8.RS=BD\cos\theta=8.

The parallelogram’s area is 12⋅AC⋅BDsin⁡θ=15,\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15, so AC⋅BDsin⁡θ=30.AC\cdot BD\sin\theta=30. Then 48sin⁡θcos⁡2θ=30,\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30, giving sin⁡θcos⁡2θ=58.\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58.

Writing s=sin⁡θ,s=\sin\theta, 8s=5(1−s2)8s=5(1-s^2) gives s=−4+415,s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5}, so cos⁡2θ=1−s2=8(41−4)25.\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}.

Then d2=BD2d^2=BD^2 =64cos⁡2θ=\dfrac{64}{\cos^2\theta} =8(41+4)=8(\sqrt{41}+4) =32+841,=32+8\sqrt{41}, so m+n+p=32+8+41=81.m+n+p=32+8+41=81.

Thus, the correct answer is A.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

其他年份的第 24 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B