Question

二的塔函数递归定义如下： $T(1) = 2$ ，且对 $n \ge 1$ 有 $T(n + 1) = 2^{T(n)}$ 。令 $A = (T(2009))^{T(2009)}$ ，且 $B = (T(2009))^A$ 。最大的整数 $k$ 是多少，使得 $\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B$ 有定义？

The tower function of twos is defined recursively as follows: $T(1) = 2$ and $T(n + 1) = 2^{T(n)}$ for $n \ge 1.$ Let $A = (T(2009))^{T(2009)}$ and $B = (T(2009))^A.$ What is the largest integer $k$ such that $\underbrace{\log_2 \log_2 \log_2 \ldots \log_2}_{k} B$ is defined?

$2009$

$2010$

$2011$

$2012$

$2013$

答案：E

知识点：递推对数指数

难度评级：2650

小提示：

反复应用 $\log_2$ 会剥去幂塔的一层： $\log_2 T(n + 1) = T(n)$ 。

Repeatedly applying $\log_2$ peels one level off a tower: $\log_2 T(n + 1) = T(n)$

大提示：

追踪 $B = (T(2009))^A$ 在数值降到小于 $1$ 之前能承受多少次取对数。

Track how many logs $B = (T(2009))^A$ can survive before the value drops below $1$

解答：

因为 $\log_2 T(n + 1) = T(n)$ ，每次应用 $\log_2$ 都会从一个 $2$ 的幂塔顶部去掉一层。

记 $T_j=T(j)$ ，并设 $L_j$ 为对 $B$ 恰好取 $j$ 次 $\log_2$ 所得的结果。前两个结果为 $\begin{aligned} L_1 &= A\,T_{2008}, \\ L_2 &= T_{2009}T_{2008}+T_{2007} \end{aligned}\text{。}$

先看下界， $\begin{aligned} L_3 &\gt \log_2(T_{2009}T_{2008}) \\ &= T_{2008}+T_{2007} \\ &\gt T_{2008} \end{aligned}\text{。}$ 反复取对数可得，对 $0\le k\le 2007$ 都有 $L_{k+3} \gt T_{2008-k}$ 。特别地， $L_{2010}\gt2$ ，于是 $L_{2011}\gt1$ ，进而 $L_{2012}\gt0$ 。因此 $L_{2013}$ 有定义。

再看上界，由 $T_{2007}\lt T_{2008}T_{2009}$ 得 $\begin{aligned} L_3 &\lt 1+T_{2007}+T_{2008} \\ &\lt 2T_{2008}, \\ L_4 &\lt 1+T_{2007} \lt T_{2008} \end{aligned}\text{。}$ 反复使用最后一个不等式可得，对 $0\le k\le2007$ 都有 $L_{k+4}\lt T_{2008-k}$ 。于是 $L_{2011}\lt2$ 。结合下界即得 $0\lt L_{2012}\lt1$ ，从而 $L_{2013}\lt0$ 。因此 $L_{2014}$ 无定义，最大的 $k$ 是 $2013$ 。

因此，正确答案是 E。

Since $\log_2 T(n + 1) = T(n),$ each application of $\log_2$ strips one $2$ off the top of a tower of twos.

Write $T_j=T(j),$ and let $L_j$ be the result of applying $\log_2$ to $B$ exactly $j$ times. The first two results are $\begin{aligned} L_1 &= A\,T_{2008}, \\ L_2 &= T_{2009}T_{2008}+T_{2007}. \end{aligned}$

For the lower bound, $\begin{aligned} L_3 &\gt \log_2(T_{2009}T_{2008}) \\ &= T_{2008}+T_{2007} \\ &\gt T_{2008}. \end{aligned}$ Repeatedly taking logarithms gives $L_{k+3} \gt T_{2008-k}$ for $0\le k\le 2007.$ In particular, $L_{2010}\gt2,$ so $L_{2011}\gt1$ and $L_{2012}\gt0.$ Thus $L_{2013}$ is defined.

For the upper bound, $T_{2007}\lt T_{2008}T_{2009},$ so $\begin{aligned} L_3 &\lt 1+T_{2007}+T_{2008} \\ &\lt 2T_{2008}, \\ L_4 &\lt 1+T_{2007} \lt T_{2008}. \end{aligned}$ Repeating the last comparison gives $L_{k+4}\lt T_{2008-k}$ for $0\le k\le2007.$ Hence $L_{2011}\lt2.$ Together with the lower bound, this yields $0\lt L_{2012}\lt1,$ so $L_{2013}\lt0.$ Therefore $L_{2014}$ is undefined, and the largest possible $k$ is $2013.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 12A 第 24 题

答案：E

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题