LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

1975 AMC 12 第 24 题

先试着解答 1975 AMC 12 第 24 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1975 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

在三角形 ABCABC 中，∠C=θ\angle C=\theta、∠B=2θ\angle B=2\theta，其中 0∘<θ<60∘0^\circ\lt\theta\lt60^\circ。以 AA 为圆心、ABAB 为半径的圆与 ACAC 交于 DD，并与 BCBC（必要时延长）交于 BB 和 EE（EE 可能与 BB 重合）。则等式 EC=ADEC=AD

In triangle ABC,ABC, ∠C=θ\angle C=\theta and ∠B=2θ,\angle B=2\theta, where 0∘<θ<60∘.0^\circ\lt\theta\lt60^\circ. The circle with center AA and radius ABAB intersects ACAC at DD and intersects BC,BC, extended if necessary, at BB and at EE (EE may coincide with BB). Then EC=ADEC=AD

对任何 θ\theta 都不成立

for no values of θ\theta

仅当 θ=45∘\theta=45^\circ 时成立

only if θ=45∘\theta=45^\circ

仅当 0∘<θ≤45∘0^\circ\lt\theta\le45^\circ 时成立

only if 0∘<θ≤45∘0^\circ\lt\theta\le45^\circ

仅当 45∘≤θ<60∘45^\circ\le\theta\lt60^\circ 时成立

only if 45∘≤θ<60∘45^\circ\le\theta\lt60^\circ

对所有 θ\theta 都成立，其中 0∘<θ<60∘0^\circ\lt\theta\lt60^\circ

for all θ\theta such that 0∘<θ<60∘0^\circ\lt\theta\lt60^\circ

答案：E
知识点：圆等腰三角形导角
难度评级：2220
小提示：

由于 AB=AE=ADAB=AE=AD，先研究等腰三角形 ABEABE

Because AB=AE=AD,AB=AE=AD, first study the isosceles triangle ABEABE

大提示：

无论 EE 在 BCBC 上还是在其延长线上，追角都可得 ∠EAC=∠ECA=θ\angle EAC=\angle ECA=\theta

Whether EE lies on BCBC or its extension, angle chasing gives ∠EAC=∠ECA=θ\angle EAC=\angle ECA=\theta

解答：

由于 AB=AEAB=AE，三角形 ABEABE 是等腰三角形。当 0∘<θ<45∘0^\circ\lt\theta\lt45^\circ 时，EE 位于 B,CB,C 之间；三角形 AECAEC 的外角定理给出 2θ=∠EAC+θ2\theta=\angle EAC+\theta，所以 ∠EAC=θ\angle EAC=\theta。当 45∘<θ<60∘45^\circ\lt\theta\lt60^\circ 时，EE 位于 BB 的外侧；此时 ∠AEC=180∘−2θ\angle AEC=180^\circ-2\theta，于是 ∠EAC=180∘−(180∘−2θ)−θ=θ。 \begin{aligned} \angle EAC &=180^\circ\\ &\quad-(180^\circ-2\theta)-\theta\\ &=\theta\text{。} \end{aligned} 当 θ=45∘, E=B\theta=45^\circ,\ E=B 时，结论显然成立。因此三角形 AECAEC 始终是等腰三角形，所以 EC=EA=ADEC=EA=AD。

因此，正确答案是 E。

Since AB=AE,AB=AE, triangle ABEABE is isosceles. For 0∘<θ<45∘,0^\circ\lt\theta\lt45^\circ, EE lies between B,CB,C; the exterior-angle theorem in triangle AECAEC gives 2θ=∠EAC+θ,2\theta=\angle EAC+\theta, so ∠EAC=θ.\angle EAC=\theta. For 45∘<θ<60∘,45^\circ\lt\theta\lt60^\circ, EE lies beyond BB; then ∠AEC=180∘−2θ,\angle AEC=180^\circ-2\theta, hence ∠EAC=180∘−(180∘−2θ)−θ=θ. \begin{aligned} \angle EAC &=180^\circ\\ &\quad-(180^\circ-2\theta)-\theta\\ &=\theta. \end{aligned} At θ=45∘, E=B\theta=45^\circ,\ E=B and the conclusion is immediate. Thus triangle AECAEC is always isosceles, so EC=EA=AD.EC=EA=AD.

Therefore, the correct answer is E.

← 第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25 →

其他年份的第 24 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B