Question

若常数 $\theta$ 满足 $0\lt\theta\lt\pi$ ，且 $x+\frac1x=2\cos\theta$ ，则对每个正整数 $n$ ， $x^n+\frac1{x^n}$ 等于

If $\theta$ is a constant such that $0\lt\theta\lt\pi$ and $x+\frac1x=2\cos\theta,$ then for each positive integer $n,$ $x^n+\frac1{x^n}$ equals

$2\cos\theta$

$2^n\cos\theta$

$2\cos^n\theta$

$2\cos n\theta$

$2^n\cos^n\theta$

答案：D

知识点：复数棣莫弗定理三角恒等式

难度评级：1940

小提示：

将已知条件改写为关于 $x$ 的二次方程

Rewrite the condition as a quadratic equation in $x$

大提示：

它的两个根为 $\cos\theta\pm i\sin\theta$

Its two roots are $\cos\theta\pm i\sin\theta$

解答：

方程为 $x^2-2x\cos\theta+1=0$ ，其根为 $e^{i\theta}$ 和 $e^{-i\theta}$ 。因此 $x=e^{\pm i\theta}$ ，且 $x^{-1}=e^{\mp i\theta}$ 。由棣莫弗定理， $\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta \end{aligned}\text{。}$

所以正确答案是 D。

The equation is $x^2-2x\cos\theta+1=0,$ whose roots are $e^{i\theta}$ and $e^{-i\theta}.$ Thus $x=e^{\pm i\theta}$ and $x^{-1}=e^{\mp i\theta}.$ By De Moivre’s theorem, $\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 第 24 题

答案：D

难度评级：1940

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题