Question

求和 $\begin{aligned} &\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots\\ &\quad+\frac1{(2n-1)(2n+1)}+\cdots\\ &\quad+\frac1{255\cdot257} \end{aligned}\text{。}$

Find the sum $\begin{aligned} &\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots\\ &\quad+\frac1{(2n-1)(2n+1)}+\cdots\\ &\quad+\frac1{255\cdot257}. \end{aligned}$

$\frac{127}{255}$

$\frac{128}{255}$

$\frac12$

$\frac{128}{257}$

$\frac{129}{257}$

答案：D

知识点：裂项相消部分分式求和

难度评级：1690

小提示：

将 $\frac1{(2n-1)(2n+1)}$ 分解为两个单位分数之差

Decompose $\frac1{(2n-1)(2n+1)}$ into two unit fractions

大提示：

最后一项的分母对应 $n=128$

The last denominator corresponds to $n=128$

解答：

对 $1\le n\le128$ ，有 $\begin{gathered} \frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ =\frac1{2(2n-1)}-\frac1{2(2n+1)} \end{gathered}\text{。}$ 因此，逐项相消后，原和为 $\frac12\left(1-\frac1{257}\right)=\frac{128}{257}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

For $1\le n\le128,$ $\begin{gathered} \frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ =\frac1{2(2n-1)}-\frac1{2(2n+1)}. \end{gathered}$ Hence the sum telescopes to $\frac12\left(1-\frac1{257}\right)=\frac{128}{257}.$

Therefore, the correct answer is D.

1977 AMC 12 第 24 题

答案：D

难度评级：1690

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题