Question

数列 $\begin{gathered} 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,\\ 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2,\ldots \end{gathered}$ 由若干个 $1$ 组成，相邻两项之间隔着由 $2$ 构成的数块，第 $n$ 个数块中有 $n$ 个 $2$ 。这个数列前 $1234$ 项的和是

The sequence $\begin{gathered} 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,\\ 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2,\ldots \end{gathered}$ consists of $1$ ’s separated by blocks of $2$ ’s with $n$ $2$ ’s in the $n$ th block. The sum of the first $1234$ terms of this sequence is

$1996$

$2419$

$2429$

$2439$

$2449$

答案：B

知识点：sequences triangular numbers

难度评级：1860

小提示：

计算到第 $k$ 个数块末尾为止的总项数

Count the total number of terms through the end of the $k$ th block

大提示：

找出第 $1234$ 项之前最后一个完整数块，再计算下一个数块中的部分项

Find the last complete block before term $1234$ , then account for the partial next block

解答：

到第 $k$ 个数块为止，有 $k$ 个一和 $\frac{k(k+1)}{2}$ 个二，因此共有 $\frac{k(k+3)}{2}$ 项。当 $k=48$ 时，项数为 $1224$ 。这些项的和为 $48+2\left(\frac{48\cdot49}{2}\right)=2400\text{。}$ 接下来的 $10$ 项是一个 $1$ 和九个 $2$ ，和为 $19$ 。所求总和为 $2419$ ，所以正确答案是 B。

Through block $k$ there are $k$ ones and $\frac{k(k+1)}{2}$ twos, hence $\frac{k(k+3)}{2}$ terms. For $k=48$ this is $1224.$ Their sum is $48+2\left(\frac{48\cdot49}{2}\right)=2400.$ The next $10$ terms are one $1$ and nine $2$ ’s, with sum $19.$ The requested sum is $2419,$ so the correct answer is B.

1996 AMC 12 第 24 题

答案：B

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题