Question

求有多少个有序实数对 $(a, b)$ 满足 $(a + bi)^{2002} = a - bi$ 。

Find the number of ordered pairs of real numbers $(a, b)$ such that $(a + bi)^{2002} = a - bi.$

$1001$

$1002$

$2001$

$2002$

$2004$

答案：E

知识点：复数单位根

难度评级：2170

小提示：

设 $z = a + bi$ ，则方程为 $z^{2002} = \overline{z}$ ；取模长。

Write $z = a + bi,$ so the equation is $z^{2002} = \overline{z};$ take magnitudes

大提示：

$|z|^{2002} = |z|$ 迫使 $|z| = 0$ 或 $|z| = 1$ ；当 $|z| = 1$ 有 $\overline{z} = \dfrac1z$ 。

$|z|^{2002} = |z|$ forces $|z| = 0$ or $|z| = 1;$ when $|z| = 1,$ $\overline{z} = \dfrac1z$

解答：

设 $z = a + bi$ 。方程为 $z^{2002} = \overline{z}$ 。取模长，得 $|z|^{2002} = |z|$ ，所以 $|z|\big(|z|^{2001} - 1\big) = 0$ ，因此 $|z| = 0$ 或 $|z| = 1$ 。

若 $|z| = 0$ ，则 $(a, b) = (0, 0)$ ，得到一个解。若 $|z| = 1$ ，则 $\overline{z} = \dfrac1z$ ，所以 $z^{2002} = \dfrac1z$ ，即 $z^{2003} = 1$ ，它有 $2003$ 个不同的根。

总共有 $1 + 2003 = 2004$ 个有序对。

因此，正确答案是 E。

Let $z = a + bi.$ The equation is $z^{2002} = \overline{z}.$ Taking magnitudes, $|z|^{2002} = |z|,$ so $|z|\big(|z|^{2001} - 1\big) = 0,$ giving $|z| = 0$ or $|z| = 1.$

If $|z| = 0,$ then $(a, b) = (0, 0),$ one solution. If $|z| = 1,$ then $\overline{z} = \dfrac1z,$ so $z^{2002} = \dfrac1z,$ i.e. $z^{2003} = 1,$ which has $2003$ distinct roots.

Altogether there are $1 + 2003 = 2004$ ordered pairs.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12A 第 24 题

答案：E

难度评级：2170

小提示：

大提示：

解答：

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