Question

对每个整数 $n\gt 1$ ，设 $F(n)$ 为方程 $\sin x=\sin nx$ 在区间 $[0,\pi]$ 上的解的个数。求 $\displaystyle\sum_{n=2}^{2007}F(n)$ ？

For each integer $n\gt 1,$ let $F(n)$ be the number of solutions of the equation $\sin x=\sin nx$ on the interval $[0,\pi].$ What is $\displaystyle\sum_{n=2}^{2007}F(n)?$

$2{,}014{,}524$

$2{,}015{,}028$

$2{,}015{,}033$

$2{,}016{,}532$

$2{,}017{,}033$

答案：D

知识点：三角学交点计数求和

难度评级：2420

小提示：

$F(n)$ 计数 $[0,\pi]$ 上 $y=\sin x$ 与 $y=\sin nx$ 的交点，通常 $\sin nx$ 的每个波峰对应两个交点。

$F(n)$ counts intersections of $y=\sin x$ and $y=\sin nx$ on $[0,\pi],$ usually two per hump of $\sin nx$

大提示：

除了 $n\equiv 1\pmod 4$ 时共享最大值会使数量降为 $n$ ，其余情况 $F(n)=n+1$ 。

$F(n)=n+1$ except when $n\equiv 1\pmod 4,$ where a shared maximum drops it to $n$

解答：

在每个 $\sin nx\ge 0$ 的区间内， $\sin x$ 和 $\sin nx$ 的图像相交两次，除非它们在那里共享值 $1$ ，此时只相交一次。数出这些波峰并加上端点 $(\pi,0)$ ，可得到以下结论。

当 $n$ 为偶数或 $n\equiv 3\pmod 4$ 时， $F(n)=n+1$ ；当 $n\equiv 1\pmod 4$ 时， $F(n)=n$ 。

因此 $\begin{aligned} &\sum_{n=2}^{2007}F(n) \\ &=\sum_{n=2}^{2007}(n+1) \\ &\quad {}-\#\{n\equiv 1\!\!\pmod 4\}\text{。} \end{aligned}$ 第一个和为 $2{,}017{,}033$ ，该范围内有 $501$ 个 $n\equiv 1\pmod 4$ ，所以结果为 $2{,}017{,}033-501=2{,}016{,}532$ 。

因此，正确答案是 D。

On each interval where $\sin nx\ge 0,$ the graphs of $\sin x$ and $\sin nx$ meet twice, unless they share the value $1$ there, in which case they meet once. Counting the humps and the endpoint at $(\pi,0)$ gives

$F(n)=n+1$ when $n$ is even or $n\equiv 3\pmod 4,$ and $F(n)=n$ when $n\equiv 1\pmod 4.$

Thus $\begin{aligned} &\sum_{n=2}^{2007}F(n) \\ &=\sum_{n=2}^{2007}(n+1) \\ &\quad {}-\#\{n\equiv 1\!\!\pmod 4\}. \end{aligned}$ The first sum is $2{,}017{,}033,$ and there are $501$ values $n\equiv 1\pmod 4$ in the range, giving $2{,}017{,}033-501=2{,}016{,}532.$

Thus, the correct answer is D.

2007 AMC 12A 第 24 题

答案：D

难度评级：2420

小提示：

大提示：

解答：

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