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2020 AMC 12B 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

令 D(n)D(n) 表示将正整数 nn 写成乘积 n=f1⋅f2⋯fkn = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k 的方法数，其中 k≥1k \ge 1，每个 fif_i 都是严格大于 11 的整数，并且因子的排列顺序有区别 （也就是说，两个只在因子顺序上不同的表示也算作不同的方法）。例如，数 66 可以写成 66、 2⋅32 \cdot 3 和 3⋅23 \cdot 2，所以 D(6)=3D(6) = 3。求 D(96)D(96)。

Let D(n)D(n) denote the number of ways of writing the positive integer nn as a product n=f1⋅f2⋯fk,n = f_1 \cdot f_2 \cdots f_k, where k≥1,k \ge 1, the fif_i are integers strictly greater than 1,1, and the order in which the factors are listed matters (that is, two representations that differ only in the order of the factors are counted as distinct). For example, the number 66 can be written as 6,6, 2⋅3,2 \cdot 3, and 3⋅2,3 \cdot 2, so D(6)=3.D(6) = 3. What is D(96)?D(96)?

112112

128128

144144

172172

184184

答案：A
知识点：递推计数因数
难度评级：2220
小提示：

使用递推 D(n)=∑d∣n, d>1D(nd)D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}) 并设 D(1)=1D(1) = 1。

Use the recursion D(n)=∑d∣n, d>1D(nd),D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}), with D(1)=1D(1) = 1

大提示：

因为 96=25⋅396 = 2^5 \cdot 3，逐步计算其因子 22、33、44、66、88、1212、1616、2424、3232、4848、9696 的 DD 值。

Since 96=25⋅3,96 = 2^5 \cdot 3, build up DD on the divisors 2,2, 3,3, 4,4, 6,6, 8,8, 12,12, 16,16, 24,24, 32,32, 48,48, 9696

解答：

第一个因子 f1f_1 可以是任意因子 d>1d \gt 1，之后剩余部分是 nd\frac{n}{d} 的有序分解。因此 D(n)=∑d∣n, d>1D(nd)D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d})，并设 D(1)=1D(1) = 1。

在 96=25⋅396 = 2^5\cdot 3 的因子上逐步计算：D(2)=D(3)=1D(2) = D(3) = 1，D(4)=2D(4) = 2，D(6)=3D(6) = 3，D(8)=4D(8) = 4，D(12)=8D(12) = 8，D(16)=8D(16) = 8，D(24)=20D(24) = 20，D(32)=16D(32) = 16，D(48)=48D(48) = 48。

最后 D(96)=D(48)+D(32)+D(24)+D(16)+D(12)+D(8)+D(6)+D(4)+D(3)+D(2)+D(1)=48+16+20+8+8+4+3+2+1+1+1=112。 \begin{gathered} D(96) = D(48) + D(32) \\ {}+ D(24) + D(16) + D(12) \\ {}+ D(8) + D(6) + D(4) \\ {}+ D(3) + D(2) + D(1) \\ = 48 + 16 + 20 + 8 \\ {}+ 8 + 4 + 3 + 2 \\ {}+ 1 + 1 + 1 = 112 \end{gathered}\text{。}

所以正确答案是 A。

The first factor f1f_1 can be any divisor d>1,d \gt 1, after which the rest is an ordered factorization of nd.\frac{n}{d}. So D(n)=∑d∣n, d>1D(nd),D(n) = \sum_{d \mid n,\, d \gt 1} D(\frac{n}{d}), with D(1)=1.D(1) = 1.

Computing over the divisors of 96=25⋅3:96 = 2^5\cdot 3: D(2)=D(3)=1,D(2) = D(3) = 1, D(4)=2,D(4) = 2, D(6)=3,D(6) = 3, D(8)=4,D(8) = 4, D(12)=8,D(12) = 8, D(16)=8,D(16) = 8, D(24)=20,D(24) = 20, D(32)=16,D(32) = 16, D(48)=48.D(48) = 48.

Finally D(96)=D(48)+D(32)+D(24)+D(16)+D(12)+D(8)+D(6)+D(4)+D(3)+D(2)+D(1)=48+16+20+8+8+4+3+2+1+1+1=112. \begin{gathered} D(96) = D(48) + D(32) \\ {}+ D(24) + D(16) + D(12) \\ {}+ D(8) + D(6) + D(4) \\ {}+ D(3) + D(2) + D(1) \\ = 48 + 16 + 20 + 8 \\ {}+ 8 + 4 + 3 + 2 \\ {}+ 1 + 1 + 1 = 112. \end{gathered}

Thus, the correct answer is A.

第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25

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