Question

存在一个最小正实数 $a$ ，使得存在正实数 $b$ ，并且多项式 $x^3-ax^2+bx-a$ 的所有根都是实数。事实上，对这个 $a$ 值， $b$ 是唯一的。这个 $b$ 的值是多少？

There is a smallest positive real number $a$ such that there exists a positive real number $b$ such that all the roots of the polynomial $x^3-ax^2+bx-a$ are real. In fact, for this value of $a$ the value of $b$ is unique. What is this value of $b?$

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

答案：B

知识点：韦达定理算术-几何平均不等式

难度评级：2380

小提示：

若根为 $r,s,t$ ，则 $r+s+t=a$ 且 $rst=a$ 。

If the roots are $r,s,t,$ then $r+s+t=a$ and $rst=a$

大提示：

对 $r,s,t$ 使用算术平均数与几何平均数不等式；最小的 $a$ 迫使 $r=s=t$ 。

Apply AM-GM to $r,s,t;$ the minimum $a$ forces $r=s=t$

解答：

由韦达定理，实根 $r,s,t$ 满足 $r+s+t=a$ ， $rs+st+tr=b$ ，且 $rst=a$ ，所以 $r+s+t=rst$ 。

乘积为正，说明三个根全为正，或有两个根为负。在后一种情形中，将根写成 $-u,-v,w$ ，其中 $u,v,w\gt0$ 。和为正迫使 $w\gt u+v$ ，于是 $b=uv-w(u+v)\lt0$ ，矛盾。因此三个根都为正。

由算术平均数与几何平均数不等式， $27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3$ ，所以 $a=rst\ge 3\sqrt3$ ，等号成立当且仅当 $r=s=t=\sqrt3$ 。在这个最小的 $a$ 下， $\begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9 \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 B。

By Vieta’s formulas, the real roots $r,s,t$ satisfy $r+s+t=a,$ $rs+st+tr=b,$ and $rst=a,$ so $r+s+t=rst.$

The positive product means either all three roots are positive or two are negative. In the latter case write the roots as $-u,-v,w$ with $u,v,w\gt0.$ The positive sum forces $w\gt u+v,$ and then $b=uv-w(u+v)\lt0,$ a contradiction. Hence all three roots are positive.

By the AM-GM inequality, $27rst\le(r+s+t)^3=(rst)^3,$ so $a=rst\ge 3\sqrt3,$ with equality if and only if $r=s=t=\sqrt3.$ At this smallest $a,$ $\begin{gathered} b=rs+st+tr\\ =3r^2=3\cdot 3=9. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 12A 第 24 题

答案：B

难度评级：2380

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题