LIVE by Po-Shen Loh标识

LIVE

中文

1969 AMC 12 第 24 题

先试着解答 1969 AMC 12 第 24 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 1969 AMC 12 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

将自然数 PP 与 P′P'（其中 P>P′P\gt P'）分别除以自然数 DD，余数分别为 RR 与 R′R'。将 PP′PP' 与 RR′RR' 分别除以 DD，余数分别为 rr 与 r′r'。则：

When the natural numbers PP and P′,P', with P>P′,P\gt P', are divided by the natural number D,D, the remainders are RR and R′,R', respectively. When PP′PP' and RR′RR' are divided by D,D, the remainders are rr and r′,r', respectively. Then:

r>r′r\gt r' 恒成立

r>r′r\gt r' always

r<r′r\lt r' 恒成立

r<r′r\lt r' always

有时 r>r′r\gt r'，有时 r<r′r\lt r'

r>r′r\gt r' sometimes, and r<r′r\lt r' sometimes

有时 r>r′r\gt r'，有时 r=r′r=r'

r>r′r\gt r' sometimes, and r=r′r=r' sometimes

r=r′r=r' 恒成立

r=r′r=r' always

答案：E
知识点：模运算
难度评级：1670
小提示：

写出 P≡R(modD)P\equiv R\pmod D 与 P′≡R′(modD)P'\equiv R'\pmod D

Write P≡R(modD)P\equiv R\pmod D and P′≡R′(modD)P'\equiv R'\pmod D

大提示：

将两个同余式相乘

Multiply the two congruences

解答：

根据余数的定义， P≡R(modD),P′≡R′(modD)。 \begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D \end{aligned}\text{。}两式相乘，得 PP′≡RR′(modD)PP'\equiv RR'\pmod D。由于每个数都有介于 00 与 D−1D-1 之间的唯一余数，所以二者的余数必相等：r=r′r=r'。

所以正确答案是 E。

By definition of the remainders, P≡R(modD),P′≡R′(modD). \begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D. \end{aligned} Multiplying gives PP′≡RR′(modD).PP'\equiv RR'\pmod D. Since each has a unique remainder between 00 and D−1,D-1, their remainders must be equal: r=r′.r=r'.

Therefore, the correct answer is E.

← 第 23 题#23
完整试卷
第 25 题#25 →

其他年份的第 24 题

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B