Question

图中， $AB=AC$ ，角 $BAD=30^\circ$ ，且 $AE=AD$ 。则角 $CDE$ 等于：

In the figure $AB=AC,$ angle $BAD=30^\circ,$ and $AE=AD.$ Then angle $CDE$ equals:

$7\dfrac12^\circ$

$10^\circ$

$12\dfrac12^\circ$

$15^\circ$

$20^\circ$

答案：D

知识点：isosceles triangles 导角 supplementary angles

难度评级：2070

小提示：

设 $\angle DAE=\alpha$ ，利用等腰三角形 $ABC$ 表示 $C$ 点处的底角

Let $\angle DAE=\alpha$ and express the base angle at $C$ using isosceles triangle $ABC$

大提示：

利用 $AE=AD$ 表示 $\angle ADE$ ，再分解 $D$ 点处的平角

Use $AE=AD$ to express $\angle ADE,$ then split the straight angle at $D$

解答：

设 $\angle DAE=\alpha$ 。由于 $AB=AC$ 且 $AE=AD$ ， $\begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2 \end{aligned}\text{。}$ 在三角形 $ACD$ 中， $\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB$ ，所以 $\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2$ 。由于 $\angle ADC=\angle ADE+x$ ， $\begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 D。

Let $\angle DAE=\alpha.$ Since $AB=AC$ and $AE=AD,$ $\begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2. \end{aligned}$ Triangle $ACD$ gives $\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB,$ so $\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2.$ Since $\angle ADC=\angle ADE+x,$ $\begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

1956 AMC 12 第 24 题

答案：D

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 24 题