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1982 AMC 12 第 24 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

24.

在右图中，一个圆与等边三角形的各边相交于六个点。若 AG=2AG=2、GF=13GF=13、FC=1FC=1，且 HJ=7HJ=7，则 DEDE 等于

In the adjoining figure, the circle meets the sides of an equilateral triangle at six points. If AG=2,AG=2, GF=13,GF=13, FC=1FC=1 and HJ=7,HJ=7, then DEDE equals

2222\sqrt{22}

737\sqrt3

99

1010

1313

答案：A
知识点：圆幂圆等边三角形
难度评级：2310
小提示：

该三角形的三边长均为 1616

All three sides of the triangle have length 1616

大提示：

分别从 AA、BB 和 CC 使用点幂定理，将底边的两段与 DEDE 联系起来

Apply power of a point from A,A, B,B, and CC to relate the two base segments and DEDE

解答：

首先，由点 AA 的幂可得 AH(AH+7)=AG⋅AFAH(AH+7)=AG\cdot AF。后一个乘积为 2⋅15=302\cdot15=30，所以 AH=3AH=3、BJ=6BJ=6，且 BH=13BH=13。令 BD=uBD=u、DE=xDE=x、EC=vEC=v。对从 BB 和 CC 引出的割线使用点幂定理，得 u(u+x)=BH⋅BJ=13⋅6=78,v(v+x)=CF⋅CG=1⋅14=14。 \begin{aligned} u(u+x)&=BH\cdot BJ\\ &=13\cdot6=78,\\ v(v+x)&=CF\cdot CG\\ &=1\cdot14=14 \end{aligned}\text{。}另外，u+x+v=16u+x+v=16。将两个点幂方程相减，并利用该和式，得到 u−v=4u-v=4。因而 u=10−x2u=10-\frac{x}{2}，且 v=6−x2v=6-\frac{x}{2}。代入 v(v+x)=14v(v+x)=14 得 x2=88x^2=88，所以 DE=222DE=2\sqrt{22}。

因此，正确答案为 A。

First, power of AA gives AH(AH+7)=AG⋅AF.AH(AH+7)=AG\cdot AF. The latter product is 2⋅15=30,2\cdot15=30, so AH=3,AH=3, BJ=6,BJ=6, and BH=13.BH=13. Let BD=u,BD=u, DE=x,DE=x, EC=v.EC=v. From the secants at BB and C,C, u(u+x)=BH⋅BJ=13⋅6=78,v(v+x)=CF⋅CG=1⋅14=14. \begin{aligned} u(u+x)&=BH\cdot BJ\\ &=13\cdot6=78,\\ v(v+x)&=CF\cdot CG\\ &=1\cdot14=14. \end{aligned} Also u+x+v=16.u+x+v=16. Subtracting the power equations and using the sum gives u−v=4.u-v=4. Hence u=10−x2u=10-\frac{x}{2} and v=6−x2.v=6-\frac{x}{2}. Substitution into v(v+x)=14v(v+x)=14 gives x2=88,x^2=88, so DE=222.DE=2\sqrt{22}.

Therefore, the correct answer is A.

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