Question

若 $\lfloor x\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，则 $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor=$

If $\lfloor x\rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x,$ then $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor=$

$8192$

$8204$

$9218$

$\lfloor\log_2(1024!)\rfloor$

以上均非

none of these

答案：B

知识点：floor function 对数 geometric series

难度评级：2300

小提示：

将整数 $N$ 按照其所在区间 $2^k\le N\lt2^{k+1}$ 分组

Group the integers $N$ according to the interval $2^k\le N\lt2^{k+1}$

大提示：

共有 $2^k$ 个整数属于第 $k$ 组；单独处理 $N=1024$

There are $2^k$ integers in the $k$ th group; handle $N=1024$ separately

解答：

对于 $0\le k\le9$ ，恰有 $2^k$ 个整数 $N$ 满足 $2^k\le N\lt2^{k+1}$ ，每个都贡献 $k$ 。最后一个整数 $1024=2^{10}$ 贡献 $10$ 。因此 $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor =\sum_{k=0}^{9}k2^k+10\text{。}$ 由有限几何级数的恒等式， $\sum_{k=0}^{9}k2^k=8194$ ，所以所求的和为 $8204$ 。

因此正确答案是 B。

For $0\le k\le9,$ exactly $2^k$ integers $N$ satisfy $2^k\le N\lt2^{k+1},$ and each contributes $k.$ The final integer $1024=2^{10}$ contributes $10.$ Hence $\sum_{N=1}^{1024}\lfloor\log_2N\rfloor =\sum_{k=0}^{9}k2^k+10.$ The finite geometric-sum identity gives $\sum_{k=0}^{9}k2^k=8194,$ so the requested sum is $8204.$

Thus the correct answer is B.

1986 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题