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2019 AMC 12A 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

设 △A0B0C0\triangle A_0 B_0 C_0 是一个三角形，其角度恰为 59.999∘59.999^\circ，60∘60^\circ，和 60.001∘60.001^\circ。对每个正整数 nn，定义 AnA_n 为从 An−1A_{n-1} 到直线 Bn−1Cn−1B_{n-1}C_{n-1} 的高的垂足。同样，定义 BnB_n 为从 Bn−1B_{n-1} 到直线 An−1Cn−1A_{n-1}C_{n-1} 的高的垂足，定义 CnC_n 为从 Cn−1C_{n-1} 到直线 An−1Bn−1A_{n-1}B_{n-1} 的高的垂足。使 △AnBnCn\triangle A_n B_n C_n 成为钝角三角形的最小正整数 nn 是多少？

Let △A0B0C0\triangle A_0 B_0 C_0 be a triangle whose angle measures are exactly 59.999∘,59.999^\circ, 60∘,60^\circ, and 60.001∘.60.001^\circ. For each positive integer nn define AnA_n to be the foot of the altitude from An−1A_{n-1} to line Bn−1Cn−1.B_{n-1}C_{n-1}. Likewise, define BnB_n to be the foot of the altitude from Bn−1B_{n-1} to line An−1Cn−1,A_{n-1}C_{n-1}, and CnC_n to be the foot of the altitude from Cn−1C_{n-1} to line An−1Bn−1.A_{n-1}B_{n-1}. What is the least positive integer nn for which △AnBnCn\triangle A_n B_n C_n is obtuse?

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答案：E
知识点：高线递推导角
难度评级：2520
小提示：

对锐角三角形，垂足三角形的角为 180∘−2α180^\circ - 2\alpha。

For an acute triangle, the orthic triangle has angles 180∘−2α180^\circ - 2\alpha

大提示：

追踪相对 60∘60^\circ 的偏差：每一步都把偏差乘以 −2-2，当某个偏差超过 30∘30^\circ 时三角形变为钝角

Track the deviation from 60∘:60^\circ: each step multiplies it by −2,-2, and the triangle turns obtuse when a deviation exceeds 30∘30^\circ

解答：

对锐角三角形，垂足三角形（高的垂足构成的三角形）的每个角为 180∘−2α180^\circ - 2\alpha，其中 α\alpha 是原三角形的对应角。

把一个角写成 60∘+x60^\circ + x，新角就是 60∘−2x60^\circ - 2x，所以每一步都会把相对 60∘60^\circ 的偏差乘以 −2-2。初始偏差为 ±0.001∘\pm 0.001^\circ。

nn 步后，偏差大小为 0.001⋅2n0.001 \cdot 2^n 度。三角形第一次变成钝角时这个值超过 30∘30^\circ，即 2n>300002^n \gt 30000。因为 214=163842^{14} = 16384 且 215=327682^{15} = 32768，最小的 nn 是 1515。

所以正确答案是 E。

For an acute triangle, the orthic triangle (feet of the altitudes) has angles 180∘−2α180^\circ - 2\alpha for each original angle α.\alpha.

Writing an angle as 60∘+x,60^\circ + x, the new angle is 60∘−2x,60^\circ - 2x, so each deviation from 60∘60^\circ is multiplied by −2.-2. The initial deviations are ±0.001∘.\pm 0.001^\circ.

After nn steps a deviation has magnitude 0.001⋅2n0.001 \cdot 2^n degrees. The triangle first becomes obtuse when this exceeds 30∘,30^\circ, i.e. 2n>30000.2^n \gt 30000. Since 214=163842^{14} = 16384 and 215=32768,2^{15} = 32768, the least such nn is 15.15.

Thus, the correct answer is E.

第 24 题#24
完整试卷

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