Question

设 $S$ 为构成一个 $120^\circ$ 角两边的两条射线上的点集， $P$ 是该角内部、角平分线上的一个定点。考虑所有不同的等边三角形 $PQR$ ，其中 $Q$ 和 $R$ 属于 $S$ 。（点 $Q$ 和 $R$ 可以位于同一条射线上，交换 $Q$ 与 $R$ 的名称不产生不同的三角形。）这样的三角形有

Let $S$ be the set of points on the rays forming the sides of a $120^\circ$ angle, and let $P$ be a fixed point inside the angle on the angle bisector. Consider all distinct equilateral triangles $PQR$ with $Q$ and $R$ in $S.$ (Points $Q$ and $R$ may be on the same ray, and switching the names of $Q$ and $R$ does not create a distinct triangle.) There are

恰好 $2$ 个。

exactly $2$ such triangles.

恰好 $3$ 个。

exactly $3$ such triangles.

恰好 $7$ 个。

exactly $7$ such triangles.

恰好 $15$ 个。

exactly $15$ such triangles.

多于 $15$ 个。

more than $15$ such triangles.

答案：E

知识点：equilateral triangles congruence infinite family

难度评级：2310

小提示：

将角的顶点记为 $O$ ，并在一条射线上取点 $A$ ，使 $\triangle AOP$ 为等边三角形。

Call the angle’s vertex $O$ and choose $A$ on one ray so that $\triangle AOP$ is equilateral

大提示：

让点 $Q$ 在 $\overline{AO}$ 上连续变化，并在另一条射线上构造相应的点 $R$ 。

Vary a point $Q$ continuously on $\overline{AO}$ and construct a matching point $R$ on the other ray

解答：

设 $O$ 为角的顶点。在一条射线上取点 $A$ ，使 $OA=OP$ ；因为 $OP$ 平分 $120^\circ$ 角，所以 $\triangle AOP$ 是等边三角形。对 $\overline{AO}$ 上任意一点 $Q$ ，在另一条射线上取点 $R$ ，使 $OR=AQ$ 。由边角边可得 $\triangle POR\cong\triangle PAQ$ 。因此 $PQ=PR$ ，且 $\angle QPR=\angle APO=60^\circ$ ，所以 $\triangle PQR$ 是等边三角形。连续变化的 $Q$ 会给出不同的三角形，因此这样的三角形当然多于 $15$ 个。故正确答案是 E。

Let $O$ be the vertex. Choose $A$ on one ray so that $OA=OP;$ because $OP$ bisects the $120^\circ$ angle, $\triangle AOP$ is equilateral. For any $Q$ on $\overline{AO},$ choose $R$ on the other ray with $OR=AQ.$ Then $\triangle POR\cong\triangle PAQ$ by SAS. Consequently $PQ=PR$ and $\angle QPR=\angle APO=60^\circ,$ so $\triangle PQR$ is equilateral. Continuously many choices of $Q$ give distinct triangles, hence certainly more than $15.$ Thus the correct answer is E.

1993 AMC 12 第 25 题

答案：E

难度评级：2310

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题