Question

三个同心圆的半径分别为 $1$ ， $2$ ， $3$ 。一个边长为 $s$ 的等边三角形在每个圆上各有一个顶点。求 $s^2$ 。

Three concentric circles have radii $1,$ $2,$ $3.$ An equilateral triangle with side length $s$ has one vertex on each circle. What is $s^2?$

$6$

$\dfrac{25}{4}$

$\dfrac{13}{2}$

$\dfrac{27}{4}$

$7$

答案：E

知识点：等边三角形变换圆

难度评级：2650

小提示：

若一点到边长为 $a$ 的等边三角形三个顶点的距离分别为 $p, q, r$ ，则 $p^2, q^2, r^2, a^2$ 之间存在一个对称关系

For a point at distances $p, q, r$ from the vertices of an equilateral triangle of side $a,$ there is a symmetric relation among $p^2, q^2, r^2, a^2$

大提示：

使用 $3(p^4 + q^4 + r^4 + a^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + a^2)^2$ ，并代入 $p, q, r = 1, 2, 3$ 。

Use $3(p^4 + q^4 + r^4 + a^4)$ $= (p^2 + q^2 + r^2 + a^2)^2$ with $p, q, r = 1, 2, 3$

解答：

公共圆心到边长为 $s$ 的等边三角形三个顶点的距离为 $1, 2, 3$ ，因此有恒等式 $3(1 + 16 + 81 + s^4)$ $= (1 + 4 + 9 + s^2)^2$ 。化简得 $2s^4 - 28s^2 + 98 = 0$ ，即 $(s^2 - 7)^2 = 0$ ，所以 $s^2 = 7$ 。

所以正确答案是 E。

For the common center at distances $1, 2, 3$ from the vertices of an equilateral triangle of side $s,$ the identity $3(1 + 16 + 81 + s^4)$ $= (1 + 4 + 9 + s^2)^2$ holds. This simplifies to $2s^4 - 28s^2 + 98 = 0,$ i.e. $(s^2 - 7)^2 = 0,$ so $s^2 = 7.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12B 第 25 题

答案：E

难度评级：2650

小提示：

大提示：

解答：

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