Question

设 $f(x)=x^2+6x+1$ ，并设 $R$ 表示坐标平面中满足 $f(x)+f(y)\le0$ 且 $f(x)-f(y)\le0$ 的点 $(x,y)$ 的集合。 $R$ 的面积最接近

Let $f(x)=x^2+6x+1,$ and let $R$ denote the set of points $(x,y)$ in the coordinate plane such that $f(x)+f(y)\le0$ and $f(x)-f(y)\le0.$ The area of $R$ is closest to

$21$

$22$

$23$

$24$

$25$

答案：E

知识点：配方法圆面积

难度评级：2260

小提示：

配方可得 $f(x)+f(y)$ $=(x+3)^2+(y+3)^2-16$ 。

Complete the square: $f(x)+f(y)$ $=(x+3)^2+(y+3)^2-16$

大提示：

第一个条件给出半径为 $4$ 的圆盘；第二个条件 $(x-y)(x+y+6)\le0$ 保留其中一半。

The first condition is a disk of radius $4$ ; the second, $(x-y)(x+y+6)\le0,$ keeps half of it

解答：

配方得 $\begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16\text{，} \end{gathered}$ 所以第一个条件表示以 $(-3,-3)$ 为圆心、半径为 $4$ 的圆盘。

又 $\begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6)\text{，} \end{gathered}$ 因此第二个条件 $(x-y)(x+y+6)\le0$ 表示由过 $(-3,-3)$ 、斜率分别为 $1$ 和 $-1$ 的两条垂直直线所确定的两个半平面。这些直线把圆盘分成两半。

因此 $R$ 的面积为 $\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13$ ，最接近 $25$ 。

所以正确答案是 E。

Completing the square, $\begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered}$ so the first condition is the disk of radius $4$ centered at $(-3,-3).$

Also $\begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered}$ so the second condition $(x-y)(x+y+6)\le0$ describes two half-planes bounded by the perpendicular lines through $(-3,-3)$ of slopes $1$ and $-1.$ These cut the disk into two equal halves.

Thus $R$ has area $\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13,$ which is closest to $25.$

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B 第 25 题

答案：E

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题