Question

设 $S$ 为所有形如 $(x, y, z)$ 的点组成的集合，其中 $x$ ， $y$ 和 $z$ 都从集合 $\{0, 1, 2\}$ 中选择。顶点全在 $S$ 中的等边三角形有多少个？

Let $S$ be the set of all points with coordinates $(x, y, z),$ where $x,$ $y,$ and $z$ are each chosen from the set $\{0, 1, 2\}.$ How many equilateral triangles have all their vertices in $S?$

$72$

$76$

$80$

$84$

$88$

答案：C

知识点：等边三角形立体几何分类讨论

难度评级：2640

小提示：

这种网格中的等边三角形三边相等，所以每条边是某种面对角线或特定的斜线段。

An equilateral triangle in this grid must have all three sides equal, so each side is a face diagonal or a specific slanted segment

大提示：

分别数边为单位立方体面对角线、大立方体面对角线，以及长度为 $\sqrt{6}$ 的边中点到边中点线段的三角形。

Count separately the triangles whose sides are unit-cube face diagonals, big-cube face diagonals, and edge-midpoint-to-edge-midpoint segments of length $\sqrt{6}$

解答：

这样的三角形三条边长度相等。检查 $3 \times 3 \times 3$ 网格中的可能平方边长，只有三类边会出现。

单位立方体的面对角线（长 $\sqrt2$ ）： $8$ 个单位立方体中每个贡献 $8$ 个三角形，共 $8 \cdot 8 = 64$ 个。

$2 \times 2 \times 2$ 大立方体的面对角线（长 $2\sqrt2$ ）：每个顶点相邻的三个面形成一个三角形，共 $8$ 个。

边中点之间的线段（长 $\sqrt6$ ）： $12$ 个边中点中的每一个，都是两个这种三角形的顶点，所以共有 $\dfrac{12 \cdot 2}{3} = 8$ 个。

总数为 $64 + 8 + 8 = 80$ 。

所以正确答案是 C。

The three equal sides of such a triangle must all have the same length. Checking the possible squared lengths in the $3 \times 3 \times 3$ grid, only three families of side occur.

Face diagonals of a unit cube (length $\sqrt2$ ): each of the $8$ unit cubes contributes $8$ triangles, one at each corner, for $8 \cdot 8 = 64.$

Face diagonals of the $2 \times 2 \times 2$ cube (length $2\sqrt2$ ): the three faces meeting at a vertex form one triangle, giving $8$ triangles.

Edge-midpoint segments (length $\sqrt6,$ joining midpoints of two edges): each of the $12$ edge midpoints is a vertex of two such triangles, for $\dfrac{12 \cdot 2}{3} = 8.$

The total is $64 + 8 + 8 = 80.$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 12A 第 25 题

答案：C

难度评级：2640

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题