Question

一只蜜蜂从点 $P_0$ 出发飞行。她向正东方向飞 $1$ 英寸到点 $P_1$ 。对 $j \ge 1$ ，一旦蜜蜂到达点 $P_j$ ，她就逆时针转 $30^\circ$ ，然后沿直线飞 $j + 1$ 英寸到点 $P_{j+1}$ 。当蜜蜂到达 $P_{2015}$ 时，她距离 $P_0$ 恰好为 $a\sqrt b + c\sqrt d$ 英寸，其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 是正整数，且 $b$ 和 $d$ 都不能被任何质数的平方整除。 $a + b + c + d$ 是多少？

A bee starts flying from point $P_0.$ She flies $1$ inch due east to point $P_1.$ For $j \ge 1,$ once the bee reaches point $P_j,$ she turns $30^\circ$ counterclockwise and then flies $j + 1$ inches straight to point $P_{j+1}.$ When the bee reaches $P_{2015}$ she is exactly $a\sqrt b + c\sqrt d$ inches away from $P_0,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers and $b$ and $d$ are not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c + d?$

$2016$

$2024$

$2032$

$2040$

$2048$

答案：B

知识点：复数单位根等比数列

难度评级：2780

小提示：

用复数表示路径： $P_0 = 0$ ， $z = e^{\frac{\pi i}{6}}$ ，且 $P_n = \sum_{k=1}^{n} k z^{k-1}$ 。

Model the path with complex numbers: $P_0 = 0,$ $z = e^{\frac{\pi i}{6}},$ and $P_n = \sum_{k=1}^{n} k z^{k-1}$

大提示：

求和该级数，然后使用 $z^{12} = 1$ 和 $|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3$ 。

Sum the series, then use $z^{12} = 1$ and $|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3$

解答：

令 $P_0 = 0$ ，并设 $z = e^{\frac{\pi i}{6}}$ ，则长度为 $k$ 、方向为 $z^{k-1}$ 的每一步给出 $P_{2015} = \sum_{k=1}^{2015} k z^{k-1}$ 。对这个级数求和（对几何级数求导），得到 $\begin{aligned} &P_{2015} = \dfrac{1}{(z - 1)^2} \\ &\quad {}\cdot \bigl(2015 z^{2016} - 2016 z^{2015} + 1\bigr) \end{aligned}\text{。}$

因为 $z^{12} = 1$ ，所以 $z^{2016} = 1$ 且 $z^{2015} = \tfrac1z$ ，因此 $P_{2015} = \dfrac{2016}{z(z - 1)}$ 。使用 $|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3 = \dfrac{(\sqrt3 - 1)^2}{2}$ 以及 $|z| = 1$ ，距离为 $\dfrac{2016}{|z - 1|} = 1008\sqrt6 + 1008\sqrt2$ 。

因此 $a + b + c + d = 1008 + 6 + 1008$ $+ 2 = 2024$ 。

因此，正确选项是 B。

Place $P_0 = 0$ and let $z = e^{\frac{\pi i}{6}},$ so each step of length $k$ in direction $z^{k-1}$ gives $P_{2015} = \sum_{k=1}^{2015} k z^{k-1}.$ Summing this (a differentiated geometric series) leads to $\begin{aligned} &P_{2015} = \dfrac{1}{(z - 1)^2} \\ &\quad {}\cdot \bigl(2015 z^{2016} - 2016 z^{2015} + 1\bigr). \end{aligned}$

Since $z^{12} = 1,$ we have $z^{2016} = 1$ and $z^{2015} = \tfrac1z,$ so $P_{2015} = \dfrac{2016}{z(z - 1)}.$ Using $|z - 1|^2 = 2 - \sqrt3 = \dfrac{(\sqrt3 - 1)^2}{2}$ and $|z| = 1,$ the distance is $\dfrac{2016}{|z - 1|} = 1008\sqrt6 + 1008\sqrt2.$

Hence $a + b + c + d = 1008 + 6 + 1008$ $+ 2 = 2024.$

Thus, the correct answer is B.

2015 AMC 12B 第 25 题

答案：B

难度评级：2780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题