Question

一个圆内接四边形的四条边依次长为 $25$ ， $39$ ， $52$ ，和 $60$ 。该圆的直径长度为：

Inscribed in a circle is a quadrilateral having sides of lengths $25,$ $39,$ $52,$ and $60$ taken consecutively. The diameter of this circle has length:

$62$

$63$

$65$

$66$

$69$

答案：C

知识点：圆内接四边形勾股数直角三角形

难度评级：2140

小提示：

在四条边长中找出两组勾股数的倍数

Notice two scaled Pythagorean triples among the four side lengths

大提示：

$25,60$ 这一对与 $39,52$ 这一对对应同一条可能的斜边

The $25,60$ pair and the $39,52$ pair share the same possible hypotenuse

解答：

可将连续四边标记为 $\begin{gathered} AB=25,\\ BC=39,\\ CD=52,\\ DA=60 \end{gathered}\text{。}$ 因为 $25^2+60^2=65^2=39^2+52^2\text{，}$ 三角形 $ABD$ 与 $BCD$ 都是直角三角形，且有公共斜边 $BD=65$ 。二者拼成这个圆内接四边形，而直角三角形的斜边是其外接圆的直径。因此直径为 $65$ 。

因此，正确答案是 C。

The consecutive sides may be labeled $\begin{gathered} AB=25,\\ BC=39,\\ CD=52,\\ DA=60. \end{gathered}$ Since $25^2+60^2=65^2=39^2+52^2,$ triangles $ABD$ and $BCD$ are right triangles with common hypotenuse $BD=65.$ Their union is the cyclic quadrilateral, and a right triangle’s hypotenuse is a diameter of its circumcircle. Thus the diameter is $65.$

Therefore, the correct answer is C.

1972 AMC 12 第 25 题

答案：C

难度评级：2140

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题