Question

在附图的平行四边形 $ABCD$ 中，直线 $DP$ 平分 $BC$ 于 $N$ ，并与 $AB$ 的延长线交于 $P$ 。从顶点 $C$ 作直线 $CQ$ ，它平分边 $AD$ 于 $M$ ，并与 $AB$ 的延长线交于 $Q$ 。直线 $DP$ 与 $CQ$ 相交于 $O$ 。若平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $k$ ，则三角形 $QPO$ 的面积等于

In parallelogram $ABCD$ of the accompanying diagram, line $DP$ is drawn bisecting $BC$ at $N$ and meeting $AB$ (extended) at $P.$ From vertex $C,$ line $CQ$ is drawn bisecting side $AD$ at $M$ and meeting $AB$ (extended) at $Q.$ Lines $DP$ and $CQ$ meet at $O.$ If the area of parallelogram $ABCD$ is $k,$ then the area of triangle $QPO$ is equal to

$k$

$\frac{6k}{5}$

$\frac{9k}{8}$

$\frac{5k}{4}$

$2k$

答案：C

知识点：平行四边形坐标几何三角形面积

难度评级：2100

小提示：

取 $A=(0,0)$ 、 $B=(1,0)$ 、 $D=(u,v)$ 和 $C=(u+1,v)$

Use $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ and $C=(u+1,v)$

大提示：

两条中点连线与基线分别交于 $Q=(-1,0)$ 和 $P=(2,0)$ ；再求 $O$ 的高度

The midpoint lines meet the baseline at $Q=(-1,0)$ and $P=(2,0)$ ; then find $O$ ’s height

解答：

选取坐标 $A=(0,0)$ 、 $B=(1,0)$ 、 $D=(u,v)$ 和 $C=(u+1,v)$ ，于是 $k=v$ 。两个中点为 $\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}) \end{aligned}\text{。}$ 将 $CM$ 和 $DN$ 延长至 $y=0$ ，可得 $Q=(-1,0)$ 和 $P=(2,0)$ 。

将 $DP$ 与 $CQ$ 参数化，可得它们的交点为 $O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4})$ 。因此 $QP=3$ ，从 $O$ 到基线的高为 $\frac{3v}{4}$ ，所以 $\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8} \end{aligned}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Choose coordinates $A=(0,0),$ $B=(1,0),$ $D=(u,v),$ and $C=(u+1,v),$ so $k=v.$ The midpoints are $\begin{aligned} M&=(\frac{u}{2},\frac{v}{2}),\\ N&=(1+\frac{u}{2},\frac{v}{2}). \end{aligned}$ Extending $CM$ and $DN$ to $y=0$ gives $Q=(-1,0)$ and $P=(2,0).$

Parameterizing $DP$ and $CQ$ shows their intersection is $O=(\frac{3u}{4}+\frac{1}{2},\frac{3v}{4}).$ Thus $QP=3$ and the height from $O$ is $\frac{3v}{4},$ so $\begin{aligned} [QPO]&=\frac12(3)\left(\frac{3v}{4}\right)\\ &=\frac{9v}{8}=\frac{9k}{8}. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is C.

1974 AMC 12 第 25 题

答案：C

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题