Question

对于数列 $u_1$ 、 $u_2$ 、 $\ldots$ ，定义 $\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n$ ，并对所有整数 $k\gt1$ 定义 $\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n))$ 。若 $u_n=n^3+n$ ，则对所有 $n$ ，都有 $\Delta^k(u_n)=0$

For a sequence $u_1,$ $u_2,$ $\ldots,$ define $\Delta^1(u_n)=u_{n+1}-u_n$ and, for all integers $k\gt1,$ $\Delta^k(u_n)=\Delta^1(\Delta^{k-1}(u_n)).$ If $u_n=n^3+n,$ then $\Delta^k(u_n)=0$ for all $n$

当 $k=1$ 时

if $k=1$

当 $k=2$ 时，但 $k=1$ 时不成立

if $k=2,$ but not if $k=1$

当 $k=3$ 时，但 $k=2$ 时不成立

if $k=3,$ but not if $k=2$

当 $k=4$ 时，但 $k=3$ 时不成立

if $k=4,$ but not if $k=3$

不存在这样的 $k$

for no value of $k$

答案：D

知识点：多项式递推找规律

难度评级：1830

小提示：

多项式数列每作一次向前差分，次数就降低一

Each forward difference lowers the degree of a polynomial sequence by one

大提示：

一直计算到恒定的三阶差分，就能看出何时首次得到零

Compute through the constant third difference to see when zero first appears

解答：

直接计算得 $\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0 \end{aligned}\text{。}$ 因此四阶差分对所有 $n$ 都为零，而三阶差分不为零。

所以正确答案是 D。

Directly, $\begin{aligned} \Delta u_n&=3n^2+3n+2,\\ \Delta^2u_n&=6n+6,\\ \Delta^3u_n&=6,\\ \Delta^4u_n&=0. \end{aligned}$ Thus the fourth differences vanish for all $n,$ but the third differences do not.

Therefore, the correct answer is D.

1976 AMC 12 第 25 题

答案：D

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题