Question

一个由五个正整数组成的数列，平均数为 $12$ ，极差为 $18$ ，众数和中位数都为 $8$ 。数列中第二大元素可能有多少个不同的值？

A list of five positive integers has mean $12$ and range $18.$ The mode and median are both $8.$ How many different values are possible for the second largest element of the list?

$4$

$6$

$8$

$10$

$12$

答案：B

知识点：平均数 median 众数 integer cases

难度评级：2070

小提示：

将五个整数排序；中位数和众数条件迫使至少两个数等于 $8$

Sort the five integers; the median and mode force at least two entries to equal $8$

大提示：

设最小元素为 $m$ ，利用极差和总和表示第二大元素

Let the smallest entry be $m$ and use the range and total sum to express the second largest entry

解答：

将排序后的数列写成 $m,8,8,d,m+18$ 。（若第四个数也是 $8$ ，总和与排序条件将无法同时满足。）由于总和为 $5(12)=60$ ，有 $m+8+8+d+(m+18)=60\text{，}$ 所以 $d=26-2m$ 。条件 $8\le d\le m+18$ 和 $m\le8$ 给出 $3\le m\le8$ 。这六个取值分别得到 $d=20$ 、 $18$ 、 $16$ 、 $14$ 、 $12$ 、 $10$ ，均有效。因此共有 $6$ 种可能，正确答案是 B。

Write the sorted list as $m,8,8,d,m+18.$ (If the fourth entry were $8,$ the sum and ordering conditions would be impossible.) Since the total is $5(12)=60,$ $m+8+8+d+(m+18)=60,$ so $d=26-2m.$ The conditions $8\le d\le m+18$ and $m\le8$ give $3\le m\le8.$ These six values yield $d=20,$ $18,$ $16,$ $14,$ $12,$ $10,$ all valid. Thus there are $6$ possibilities, and the correct answer is B.

1995 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：2070

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题