Question

设 $f(x) = |2\{x\} - 1|$ ，其中 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分。数 $n$ 是最小正整数，使得方程 $nf(xf(x)) = x$ 至少有 $2012$ 个实数解 $x$ 。求 $n$ ？

注： $x$ 的小数部分是实数 $y = \{x\}$ ，满足 $0 \le y \lt 1$ 且 $x - y$ 是整数。

Let $f(x) = |2\{x\} - 1|$ where $\{x\}$ denotes the fractional part of $x.$ The number $n$ is the smallest positive integer such that the equation $nf(xf(x)) = x$ has at least $2012$ real solutions $x.$ What is $n?$

Note: the fractional part of $x$ is a real number $y = \{x\},$ such that $0 \le y \lt 1$ and $x - y$ is an integer.

$30$

$31$

$32$

$62$

$64$

答案：C

知识点：取整函数交点计数

难度评级：2720

小提示：

$f$ 是一个周期性的三角波，且 $0 \le f(x) \le 1$ ，所以所有解都在 $[0, n]$ 内

$f$ is a periodic triangular wave with $0 \le f(x) \le 1,$ so all solutions lie in $[0, n]$

大提示：

在每个单位区间上， $y = f(xf(x))$ 的图像振荡次数逐渐增加；它与 $y = \dfrac{x}{n}$ 的交点总数为 $2n^2$

On each unit interval the graph of $y = f(xf(x))$ oscillates a growing number of times; the total number of intersections with $y = \dfrac{x}{n}$ is $2n^2$

解答：

因为 $0 \le f(x) \le 1$ ，每个解都位于 $[0,n]$ 内。函数 $f$ 是周期为 $1$ 的三角波。令 $g(x)=xf(x)$ 。对每个整数 $a\ge1$ ，函数 $g$ 在 $[a,a+\tfrac12)$ 上从 $a$ 递减到 $0$ ，而在 $[a+\tfrac12,a+1)$ 上从 $0$ 递增到 $a+1$ 。第一个区间 $[0,\tfrac12)$ 是例外，但它不产生与 $y=\frac{x}{n}$ 的交点。

计数振荡次数，在区间 $[a, a + \tfrac12)$ 和 $[a + \tfrac12, a+1)$ 上，曲线 $y = f(g(x))$ 与直线 $y = \tfrac{x}{n}$ 的交点总数分别为 $2a$ 和 $2(a+1)$ 。对 $a = 0, \ldots, n-1$ 求和，得到 $\sum_{a=0}^{n-1}\bigl(2a + 2(a+1)\bigr) = 2n^2$ 个实数解。

满足 $2n^2 \ge 2012$ 的最小 $n$ 是 $n = 32$ ，因为 $2 \cdot 31^2 = 1922$ ，而 $2 \cdot 32^2 = 2048$ 。

因此，正确答案是 C。

Since $0 \le f(x) \le 1,$ every solution lies in $[0,n].$ The function $f$ is a triangular wave of period $1.$ Put $g(x)=xf(x).$ For each integer $a\ge1,$ the function $g$ decreases from $a$ to $0$ on $[a,a+\tfrac12),$ while it increases from $0$ to $a+1$ on $[a+\tfrac12,a+1).$ The first interval $[0,\tfrac12)$ is exceptional, but it contributes no intersection with $y=\frac{x}{n}.$

Counting the oscillations, on the intervals $[a, a + \tfrac12)$ and $[a + \tfrac12, a+1)$ the curve $y = f(g(x))$ meets the line $y = \tfrac{x}{n}$ a total of $2a$ and $2(a+1)$ times. Summing over $a = 0, \ldots, n-1$ gives $\sum_{a=0}^{n-1}\bigl(2a + 2(a+1)\bigr) = 2n^2$ real solutions.

The smallest $n$ with $2n^2 \ge 2012$ is $n = 32,$ since $2 \cdot 31^2 = 1922$ and $2 \cdot 32^2 = 2048.$

Thus, the correct answer is C.

2012 AMC 12A 第 25 题

答案：C

难度评级：2720

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题