Question

三角形 $ABC$ 是以 $AC$ 为底的等腰三角形。点 $P$ 和 $Q$ 分别位于 $CB$ 和 $AB$ 上，且 $AC=AP=PQ=QB$ 。角 $B$ 的度数为：

Triangle $ABC$ is isosceles with base $AC.$ Points $P$ and $Q$ are respectively in $CB$ and $AB$ and such that $AC=AP=PQ=QB.$ The number of degrees in angle $B$ is:

$25\dfrac57$

$26\dfrac13$

$30$

$40$

无法由已知信息确定

not determined by the information given

答案：A

知识点：等腰三角形导角角度和

难度评级：1780

小提示：

令 $\angle B=m$ ，利用每一对相等线段构造等腰三角形

Let $\angle B=m$ and use each pair of equal segments to create isosceles triangles

大提示：

在三角形 $BQP$ 、 $AQP$ 和 $APC$ 中逐步追角

Chase the angles through triangles $BQP,$ $AQP,$ and $APC$

解答：

令 $\angle B=m$ 。由 $PQ=QB$ ，三角形 $BQP$ 给出 $\angle QPB=m$ 和 $\angle AQP=2m$ 。由 $AP=PQ$ ，三角形 $AQP$ 给出 $\angle QAP=2m$ ，故 $\angle QPA=180^\circ-4m$ 。由于 $B,P,C$ 共线， $\angle APC=3m$ 。再由 $AP=AC$ 得 $\angle ACP=3m$ 。最后， $AB=BC$ 使 $ABC$ 的两个底角均为 $3m$ ，且 $m+3m+3m=180^\circ\text{。}$ 因此 $m=\frac{180^\circ}{7}=25\dfrac57^\circ$ 。

所以，正确答案是 A。

Let $\angle B=m.$ Since $PQ=QB,$ triangle $BQP$ gives $\angle QPB=m$ and $\angle AQP=2m.$ Since $AP=PQ,$ triangle $AQP$ gives $\angle QAP=2m,$ so $\angle QPA=180^\circ-4m.$ As $B,P,C$ are collinear, $\angle APC=3m.$ Now $AP=AC$ gives $\angle ACP=3m.$ Finally $AB=BC$ makes both base angles of $ABC$ equal to $3m,$ and $m+3m+3m=180^\circ.$ Therefore $m=\frac{180^\circ}{7}=25\dfrac57^\circ.$

Thus, the correct answer is A.

1961 AMC 12 第 25 题

答案：A

难度评级：1780

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题