Question

一个圆柱形盒子的半径 $R$ 为 $8$ 英寸，高 $H$ 为 $3$ 英寸。体积为 $V=\pi R^2H$ 。将 $R$ 增加 $x$ 英寸与将 $H$ 增加 $x$ 英寸时，体积要增加同一个固定的正数。满足这一条件的是：

The radius $R$ of a cylindrical box is $8$ inches, the height $H$ is $3$ inches. The volume $V=\pi R^2H$ is to be increased by the same fixed positive amount when $R$ is increased by $x$ inches as when $H$ is increased by $x$ inches. This condition is satisfied by:

$x$ 没有实数取值

no real value of $x$

$x$ 有一个整数取值

one integral value of $x$

$x$ 有一个有理数但非整数的取值

one rational, but not integral, value of $x$

$x$ 有一个无理数取值

one irrational value of $x$

$x$ 有两个实数取值

two real values of $x$

答案：C

知识点：圆柱体积二次方程

难度评级：1500

小提示：

分别用半径 $8+x$ 和高度 $3+x$ 写出体积的增加量

Write the volume increase once with radius $8+x$ and once with height $3+x$

大提示：

令两个增加量相等，并舍去非正数解

Equate the increases and discard the nonpositive solution

解答：

增加半径时，体积增加 $3\pi\big((8+x)^2-8^2\big)\text{，}$ 而增加高度时，体积增加 $64\pi x$ 。令两者相等，得 $48x+3x^2=64x\text{，}$ 所以 $x=0$ 或 $x=\frac{16}{3}$ 。增加量必须为正，因此只剩一个有理数但非整数的取值。

因此，正确答案是 C。

Increasing the radius changes the volume by $3\pi\big((8+x)^2-8^2\big),$ while increasing the height changes it by $64\pi x.$ Equating these gives $48x+3x^2=64x,$ so $x=0$ or $x=\frac{16}{3}.$ The increase must be positive, leaving one rational but nonintegral value.

Thus, the correct answer is C.

1960 AMC 12 第 23 题

答案：C

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题