Question

对所有满足 $|x-2|\lt0.01$ 的 $x$ ，若要写成 $|x^2-4|\lt N$ ，则可取的最小 $N$ 值为：

If we write $|x^2-4|\lt N$ for all $x$ such that $|x-2|\lt0.01,$ the smallest value we can use for $N$ is:

$0.0301$

$0.0349$

$0.0399$

$0.0401$

$0.0499$

答案：D

知识点：绝对值不等式极限情形界定

难度评级：1910

小提示：

因式分解 $|x^2-4|=|x-2||x+2|$

Factor $|x^2-4|=|x-2||x+2|$

大提示：

当 $x$ 趋近 $2.01$ 时得到较大的单侧界

The larger one-sided bound occurs as $x$ approaches $2.01$

解答：

当 $1.99\lt x\lt2.01$ 时， $\begin{gathered} |x^2-4|=|x-2||x+2|\\ \lt(0.01)(4.01)=0.0401 \end{gathered}\text{。}$ 当 $x$ 任意接近 $2.01$ 时，该表达式也任意接近 $0.0401$ ，因此任何更小的上界都不成立。

因此，正确答案是 D。

For $1.99\lt x\lt2.01,$ $\begin{gathered} |x^2-4|=|x-2||x+2|\\ \lt(0.01)(4.01)=0.0401. \end{gathered}$ Values with $x$ arbitrarily close to $2.01$ make the expression arbitrarily close to $0.0401,$ so no smaller bound works.

Therefore, the correct answer is D.

1965 AMC 12 第 23 题

答案：D

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 23 题