Question

多项式 $z^6 - 10z^5 + Az^4$ $+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ 的所有根都是正整数，且可以重复。 $B$ 的值是多少？

All the roots of the polynomial $z^6 - 10z^5 + Az^4$ $+ Bz^3 + Cz^2 + Dz + 16$ are positive integers, possibly repeated. What is the value of $B?$

$-88$

$-80$

$-64$

$-41$

$-40$

答案：A

知识点：韦达定理多项式

难度评级：1710

小提示：

这六个正整数根的和为 $10$ ，乘积为 $16$ ；找出这个多重集合

The six positive integer roots sum to $10$ and multiply to $16;$ find the multiset

大提示：

根为 $2, 2, 2, 2, 1, 1$ ； $B$ 等于所有三根乘积之和的相反数 $-1$ 。

The roots are $2, 2, 2, 2, 1, 1;$ $B$ equals $-1$ times the sum of products of the roots taken three at a time

解答：

由韦达定理，六个根的和为 $10$ （即 $z^5$ 系数的相反数），乘积为 $16$ 。因此每个根都是 $2^{e_i}$ 的形式，并且 $\sum e_i=4$ 。因为 $2^{e_i}\ge 1+e_i$ ，六个根的和至少为 $6+4=10$ 。只有当每个 $e_i$ 都是 $0$ 或 $1$ 时才取等号，所以六个根必为 $2,2,2,2,1,1$ 。

因此多项式为 $(z - 1)^2 (z - 2)^4$ 。展开得 $\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16 \end{aligned}\text{。}$ $z^3$ 的系数是 $B = -88$ 。

因此，正确答案是 A。

By Vieta’s formulas the six roots sum to $10$ (the negative of the $z^5$ coefficient) and multiply to $16.$ Thus every root is a power $2^{e_i},$ with $\sum e_i=4.$ Since $2^{e_i}\ge 1+e_i,$ the roots have sum at least $6+4=10.$ Equality holds only when every $e_i$ is $0$ or $1,$ so the roots must be $2,2,2,2,1,1.$

So the polynomial is $(z - 1)^2 (z - 2)^4.$ Expanding, $\begin{aligned} &(z^2 - 2z + 1) \\ &\quad {}\cdot (z^4 - 8z^3 + 24z^2 - 32z + 16) \\ &= z^6 - 10z^5 + 41z^4 \\ &\quad {}- 88z^3 + 104z^2 \\ &\quad {}- 64z + 16. \end{aligned}$ The coefficient of $z^3$ is $B = -88.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12A Spring 第 12 题

答案：A

难度评级：1710

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解答：

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