Question

某个三角形的三个角成等差数列，边长为 $4$ ， $5$ ，和 $x$ 。所有可能的 $x$ 值之和等于 $a + \sqrt{b} + \sqrt{c}$ ，其中 $a$ ， $b$ ，和 $c$ 为正整数。 $a + b + c$ 是多少？

The angles in a particular triangle are in arithmetic progression, and the side lengths are $4,$ $5,$ and $x.$ The sum of the possible values of $x$ equals $a + \sqrt{b} + \sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. What is $a + b + c?$

$36$

$38$

$40$

$42$

$44$

答案：A

知识点：等差数列余弦定理分类讨论

难度评级：1740

小提示：

三个角成等差数列且和为 $180^\circ$ ，所以中间的角必须是 $60^\circ$ 。

Angles in arithmetic progression summing to $180^\circ$ force the middle angle to be $60^\circ$

大提示：

分别讨论哪条边对着 $60^\circ$ 角，并使用余弦定理

Apply the Law of Cosines in each case for which side is opposite the $60^\circ$ angle

解答：

若三个角为 $\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta$ ，它们的和 $3\alpha = 180^\circ$ 给出 $\alpha = 60^\circ$ ，所以其中一个角是 $60^\circ$ 。

若 $x$ 对着 $60^\circ$ 角，由余弦定理得 $\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21\text{，} \end{gathered}$ 所以 $x = \sqrt{21}$ 。

若 $5$ 对着 $60^\circ$ 角，则 $25 = x^2 - 4x + 16$ ，正解为 $x = 2 + \sqrt{13}$ 。若 $4$ 对着该角，则 $16 = x^2 - 5x + 25$ ，没有实数解。

所有可能值的和为 $2 + \sqrt{13} + \sqrt{21}$ ，所以 $a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36$ 。

因此，正确答案是 A。

If the angles are $\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta,$ their sum $3\alpha = 180^\circ$ gives $\alpha = 60^\circ,$ so one angle is $60^\circ.$

If $x$ is opposite the $60^\circ$ angle, the Law of Cosines gives $\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered}$ so $x = \sqrt{21}.$

If $5$ is opposite the $60^\circ$ angle, then $25 = x^2 - 4x + 16,$ whose positive solution is $x = 2 + \sqrt{13}.$ If $4$ is opposite, then $16 = x^2 - 5x + 25$ has no real solution.

The sum of the possible values is $2 + \sqrt{13} + \sqrt{21},$ so $a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36.$

Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12A 第 12 题

答案：A

难度评级：1740

小提示：

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解答：

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