Question

三角形 $ABC$ 是等边三角形，且 $AB = 1$ 。点 $E$ 和 $G$ 在 $\overline{AC}$ 上，点 $D$ 和 $F$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{DE}$ 和 $\overline{FG}$ 都平行于 $\overline{BC}$ 。此外，三角形 $ADE$ 以及梯形 $DFGE$ 和 $FBCG$ 的周长都相同。求 $DE + FG$ 。

Triangle $ABC$ is equilateral with $AB = 1.$ Points $E$ and $G$ are on $\overline{AC}$ and points $D$ and $F$ are on $\overline{AB}$ such that both $\overline{DE}$ and $\overline{FG}$ are parallel to $\overline{BC}.$ Furthermore, triangle $ADE$ and trapezoids $DFGE$ and $FBCG$ all have the same perimeter. What is $DE + FG?$

$1$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{21}{13}$

$\dfrac{13}{8}$

$\dfrac{5}{3}$

答案：C

知识点：等边三角形平行线方程组

难度评级：1610

小提示：

设 $x = DE$ 、 $y = FG$ ，用 $x$ 和 $y$ 表示三个周长

Let $x = DE$ and $y = FG,$ and write each of the three perimeters in terms of $x$ and $y$

大提示：

三个相等的周长给出 $3x = 3y - x = 3 - y$ 。

The three equal perimeters give $3x = 3y - x = 3 - y$

解答：

设 $x = DE$ 、 $y = FG$ 。平行线切出的较小区域是等边三角形或等腰梯形，所以周长为 $\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y \end{gathered}\text{。}$

令它们相等， $3x = 3y - x$ 得 $4x = 3y$ ，且 $3x = 3 - y$ 。解得 $x = \tfrac{9}{13}$ 、 $y = \tfrac{12}{13}$ ，所以 $DE + FG = \tfrac{21}{13}$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $x = DE$ and $y = FG.$ The parallel cuts make the small regions equilateral or isosceles trapezoids, so the perimeters are $\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y. \end{gathered}$

Setting them equal, $3x = 3y - x$ gives $4x = 3y,$ and $3x = 3 - y.$ Solving yields $x = \tfrac{9}{13}$ and $y = \tfrac{12}{13},$ so $DE + FG = \tfrac{21}{13}.$

Thus, the correct answer is C.

2013 AMC 12A 第 11 题

答案：C

难度评级：1610

小提示：

大提示：

解答：

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