1964 AMC 12 第 11 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

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1964 AMC 12 第 11 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

11.

已知 $2^x=8^{y+1}$ 且 $9^y=3^{x-9}$ ，求 $x+y$ 的值。

Given $2^x=8^{y+1}$ and $9^y=3^{x-9},$ find the value of $x+y.$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

答案：D

知识点：指数方程组换元法

难度评级：1430

小提示：

将 $8$ 写成 $2^3$ ，并将 $9$ 写成 $3^2$

Rewrite $8$ as $2^3$ and $9$ as $3^2$

大提示：

比较指数，得到关于 $x$ 和 $y$ 的两个一次方程

Equate exponents to obtain two linear equations in $x$ and $y$

解答：

将两个方程写成底数相同的形式，得 $\begin{aligned} x&=3y+3,\\ 2y&=x-9\text{。} \end{aligned}$ 代入可得 $y=6$ 且 $x=21$ ，所以 $x+y=27$ 。

因此，正确答案是 D。

Writing both equations with common bases gives $\begin{aligned} x&=3y+3,\\ 2y&=x-9. \end{aligned}$ Substitution yields $y=6$ and $x=21,$ so $x+y=27.$

Therefore, the correct answer is D.

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