Question

设 $P$ 是圆 $K$ 内异于圆 $K$ 圆心的一点。作圆 $K$ 中所有经过 $P$ 的弦，并取这些弦的中点。这些中点的轨迹是

Let $P$ be an interior point of circle $K$ other than the center of $K.$ Form all chords of $K$ which pass through $P,$ and determine their midpoints. The locus of these midpoints is

去掉一点的圆

a circle with one point deleted

若 $P$ 到圆 $K$ 圆心的距离小于圆 $K$ 半径的一半，则为一个圆；否则为小于 $360^\circ$ 的一段圆弧

a circle if the distance from $P$ to the center of $K$ is less than one half the radius of $K;$ otherwise a circular arc of less than $360^\circ$

去掉一点的半圆

a semicircle with one point deleted

一个半圆

a semicircle

一个圆

a circle

答案：E

知识点：圆弦中点

难度评级：1850

小提示：

连接弦的中点 $M$ 与圆心 $O$

Join a chord midpoint $M$ to the circle’s center $O$

大提示：

因为 $OM$ 垂直于经过 $P$ 的弦，所以 $\angle OMP=90^\circ$

Since $OM$ is perpendicular to the chord through $P,$ $\angle OMP=90^\circ$

解答：

若 $M$ 是弦的中点、 $O$ 是圆心，则 $OM$ 垂直于该弦，所以 $\angle OMP=90^\circ$ ，但 $M=O$ 时除外。因此 $M$ 位于以 $OP$ 为直径的圆上。反过来，对该圆上不是端点的每个 $M$ ，都有 $PM\perp OM$ ，所以直线 $PM$ 截得圆 $K$ 的一条以 $M$ 为中点的弦。端点 $M=P$ 对应经过 $P$ 且垂直于 $OP$ 的弦，而 $M=O$ 对应经过 $O$ 和 $P$ 的直径。

因此，正确答案是 E。

If $M$ is a chord midpoint and $O$ is the center, then $OM$ is perpendicular to the chord, so $\angle OMP=90^\circ$ unless $M=O.$ Thus $M$ lies on the circle with diameter $OP.$ Conversely, each nonendpoint $M$ on that circle gives $PM\perp OM,$ so the line $PM$ cuts a chord of $K$ whose midpoint is $M.$ The endpoint $M=P$ gives the chord through $P$ perpendicular to $OP,$ while $M=O$ gives the diameter through $O$ and $P.$

Therefore, the correct answer is E.

1975 AMC 12 第 11 题

答案：E

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题