Question

一个无穷等比数列的和为 $\dfrac{a}{1-r}$ ，其中 $a$ 表示首项， $-1\lt r\lt1$ 表示公比。该数列各项平方之和为：

The limit of the sum of an infinite number of terms in a geometric progression is $\dfrac{a}{1-r},$ where $a$ denotes the first term and $-1\lt r\lt1$ denotes the common ratio. The limit of the sum of their squares is:

$\dfrac{a^2}{(1-r)^2}$

$\dfrac{a^2}{1+r^2}$

$\dfrac{a^2}{1-r^2}$

$\dfrac{4a^2}{1+r^2}$

以上答案均不正确

None of these

答案：C

知识点：等比数列

难度评级：1470

小提示：

将每一项平方后，公比也随之平方

Squaring every term also squares the common ratio

大提示：

平方后的数列之和以 $a^2+a^2r^2+a^2r^4+\cdots$ 开始

The squared series begins $a^2+a^2r^2+a^2r^4+\cdots$

解答：

各项平方后仍组成等比数列，首项为 $a^2$ ，公比为 $r^2$ 。因为 $|r|\lt1$ ，所以其和为 $\frac{a^2}{1-r^2}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

The squared terms form a geometric series with first term $a^2$ and ratio $r^2.$ Since $|r|\lt1,$ its sum is $\frac{a^2}{1-r^2}.$

Thus, the correct answer is C.

1951 AMC 12 第 11 题

答案：C

难度评级：1470

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题