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1971 AMC 12 第 11 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

11.

aa 进制数 4747 与 bb 进制数 7474 表示同一个数。假设两个进制的基数都是正整数，则 a+ba+b 的最小可能值写成罗马数字是：

The numeral 4747 in base aa represents the same number as 7474 in base b.b. Assuming both bases are positive integers, the least possible value of a+b,a+b, written as a Roman numeral, is:

XIII\mathrm{XIII}

XV\mathrm{XV}

XXI\mathrm{XXI}

XXIV\mathrm{XXIV}

XVI\mathrm{XVI}

答案：D
知识点：进制丢番图方程模运算
难度评级：1850
小提示：

把这两个进制数写成等式 4a+7=7b+44a+7=7b+4

Translate the numerals into 4a+7=7b+44a+7=7b+4

大提示：

两个基数都大于 77；解 4a−7b=−34a-7b=-3，求最小的有效数对

Both bases exceed 77; solve 4a−7b=−34a-7b=-3 for the least valid pair

解答：

等式为 4a+7=7b+44a+7=7b+4，即 4a−7b=−34a-7b=-3。由于两个数码都必须有效，所以 a,b>7a,b\gt7。模 77 化简得 a≡1(mod7)a\equiv1\pmod7。第一个有效值是 a=15a=15，对应 b=9b=9。因此 a+b=24a+b=24，写成罗马数字为 XXIV\mathrm{XXIV}。

因此，正确答案为 D。

The equality is 4a+7=7b+4,4a+7=7b+4, or 4a−7b=−3.4a-7b=-3. Since both digits must be valid, a,b>7.a,b\gt7. Reducing modulo 77 gives a≡1(mod7).a\equiv1\pmod7. The first valid value is a=15,a=15, which gives b=9.b=9. Thus a+b=24,a+b=24, written XXIV.\mathrm{XXIV}.

Therefore, the correct answer is D.

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