Question

若矩形 $ABCD$ 的周长为 $20$ 英寸，则对角线 $AC$ 长度的最小值（单位：英寸）为：

If the perimeter of rectangle $ABCD$ is $20$ inches, the least value of diagonal $AC,$ in inches, is:

$0$

$\sqrt{50}$

$10$

$\sqrt{200}$

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：矩形勾股定理最优化

难度评级：1440

小提示：

若相邻两边长为 $x$ 与 $10-x$ ，求对角线长度的平方

If adjacent sides are $x$ and $10-x,$ square the diagonal

大提示：

将 $x^2+(10-x)^2$ 配方

Complete the square in $x^2+(10-x)^2$

解答：

设相邻两边长为 $x$ 与 $10-x$ 。则 $\begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50 \end{aligned}\text{。}$ 当 $x=5$ 时该式最小，从而 $AC=\sqrt{50}$ 。

因此，正确答案是 B。

Let adjacent sides be $x$ and $10-x.$ Then $\begin{aligned} AC^2&=x^2+(10-x)^2\\ &=2(x-5)^2+50. \end{aligned}$ This is minimized at $x=5,$ giving $AC=\sqrt{50}.$

Therefore, the correct answer is B.

1967 AMC 12 第 11 题

答案：B

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题