Question

两个同心圆的半径之比为 $1:3$ 。若 $\overline{AC}$ 是大圆的直径， $\overline{BC}$ 是大圆的一条弦且与小圆相切，并且 $AB=12$ ，则大圆的半径为

The ratio of the radii of two concentric circles is $1:3.$ If $\overline{AC}$ is a diameter of the larger circle, $\overline{BC}$ is a chord of the larger circle that is tangent to the smaller circle, and $AB=12,$ then the radius of the larger circle is

$13$

$18$

$21$

$24$

$26$

答案：B

知识点：circle tangent 直角三角形 similar triangles

难度评级：1810

小提示：

连接圆心与 $\overline{BC}$ 和小圆的切点

Draw the radius to the point where $\overline{BC}$ touches the smaller circle

大提示：

利用切点半径与直径构成的相似直角三角形

Use the similar right triangles formed by the tangent radius and the diameter

解答：

设 $O$ 为共同的圆心， $T$ 为 $\overline{BC}$ 上的切点。由于 $OT\perp BC$ ，且 $\angle ABC=90^\circ$ ，三角形 $OTC$ 与 $ABC$ 相似。若大圆半径为 $R$ ，则 $OT=\frac{R}{3}$ 、 $OC=R$ ，且 $AC=2R$ 。因此 $\frac{OT}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac12\text{。}$ 所以 $OT=6$ ，并且 $R=3OT=18$ 。

因此正确答案是 B。

Let $O$ be the common center and $T$ the tangency point on $\overline{BC}.$ Since $OT\perp BC$ and $\angle ABC=90^\circ,$ triangles $OTC$ and $ABC$ are similar. If the larger radius is $R,$ then $OT=\frac{R}{3},$ $OC=R,$ and $AC=2R.$ Thus $\frac{OT}{AB}=\frac{OC}{AC}=\frac12.$ Hence $OT=6$ and $R=3OT=18.$

Thus the correct answer is B.

1992 AMC 12 第 11 题

答案：B

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题