Question

计算器上有一个按键，可将显示的数替换为它的平方；另一个按键可将显示的数替换为它的倒数。设 $y$ 为从非零数 $x\ne0$ 开始，交替进行平方和取倒数的操作且每种操作各进行 $n$ 次后的最终结果。假定计算器完全精确（例如，不存在舍入误差或溢出），则 $y$ 等于

A calculator has a key which replaces the displayed entry with its square, and another key which replaces the displayed entry with its reciprocal. Let $y$ be the final result if one starts with an entry $x\ne0$ and alternately squares and reciprocates $n$ times each. Assuming the calculator is completely accurate (e.g., no roundoff or overflow), then $y$ equals

$x^{(-2)^n}$

$x^{2n}$

$x^{-2n}$

$x^{-2^n}$

$x^{(-1)^n2n}$

答案：A

知识点：指数过程模拟找规律

难度评级：1750

小提示：

只需追踪 $x$ 的指数

Track only the exponent of $x$

大提示：

每完成一组先平方再取倒数的操作，指数就乘以 $-2$

One squaring-reciprocating pair multiplies the exponent by $-2$

解答：

将显示的数写成 $x^e$ 。平方使 $e$ 变为 $2e$ ，随后取倒数使它变为 $-2e$ 。从 $e=1$ 开始，经过 $n$ 组这样的操作后，指数为 $(-2)^n$ 。因此 $y=x^{(-2)^n}$ 。

所以正确答案是 A。

Write the displayed value as $x^e.$ Squaring changes $e$ to $2e,$ and then reciprocating changes it to $-2e.$ Starting from $e=1,$ after $n$ such pairs the exponent is $(-2)^n.$ Thus $y=x^{(-2)^n}.$

Therefore, the correct answer is A.

1984 AMC 12 第 11 题

答案：A

难度评级：1750

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题