Question

从圆外一点 $A$ 向圆作两条切线，切点分别为 $B$ 和 $C$ 。第三条切线与线段 $AB$ 交于 $P$ ，与 $AC$ 交于 $R$ ，并与圆相切于 $Q$ 。若 $AB=20$ ，则三角形 $APR$ 的周长为：

Two tangents are drawn to a circle from an exterior point $A;$ they touch the circle at points $B$ and $C,$ respectively. A third tangent intersects segment $AB$ in $P$ and $AC$ in $R,$ and touches the circle at $Q.$ If $AB=20,$ then the perimeter of triangle $APR$ is:

$42$

$40.5$

$40$

$39\dfrac78$

无法由已知信息确定

not determined by the given information

答案：C

知识点：切线周长代数变形

难度评级：1440

小提示：

从同一圆外点引出的两条切线段长度相等

Tangent segments from the same exterior point have equal lengths

大提示：

在周长中用 $PB$ 代替 $PQ$ ，用 $RC$ 代替 $RQ$

Replace $PQ$ by $PB$ and $RQ$ by $RC$ in the perimeter

解答：

由切线段相等可得 $PQ=PB$ 且 $RQ=RC$ 。因此 $\begin{aligned} AP+PR+RA &=AP+PQ\\ &\quad+RQ+RA\\ &=AP+PB\\ &\quad+RC+RA\\ &=AB+AC \end{aligned}\text{。}$ 又因为 $AB=AC=20$ ，所以周长为 $40$ 。

因此，正确答案是 C。

Equal tangent segments give $PQ=PB$ and $RQ=RC.$ Thus $\begin{aligned} AP+PR+RA &=AP+PQ\\ &\quad+RQ+RA\\ &=AP+PB\\ &\quad+RC+RA\\ &=AB+AC. \end{aligned}$ Also $AB=AC=20,$ so the perimeter is $40.$

Therefore, the correct answer is C.

1961 AMC 12 第 11 题

答案：C

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 11 题