Question

令 $\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n\text{，} \end{aligned}$ 其中 $i = \sqrt{-1}$ 。 $f(2022)$ 是多少？

Let $\begin{aligned} f(n) &= \left(\dfrac{-1 + i\sqrt3}{2}\right)^n \\ &\quad {}+ \left(\dfrac{-1 - i\sqrt3}{2}\right)^n, \end{aligned}$ where $i = \sqrt{-1}.$ What is $f(2022)?$

$-2$

$-1$

$0$

$\sqrt3$

$2$

答案：E

知识点：单位根复数

难度评级：1570

小提示：

这两个底数是本原三次单位根 $\omega$ 和 $\omega^2$ 。

The two bases are the primitive cube roots of unity, $\omega$ and $\omega^2$

大提示：

由 $f(n) = \omega^n + \omega^{-n}$ ，把指数 $2022$ 对 $3$ 取模。

Then $f(n) = \omega^n + \omega^{-n};$ reduce the exponent $2022$ modulo $3$

解答：

两个底数是本原三次单位根 $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ 及其共轭 $\omega^2 = e^{-\frac{2\pi i}{3}}$ 。因此 $f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}$ 。

由于 $2022$ 是 $3$ 的倍数， $\omega^{2022} = 1$ ，所以 $f(2022) = 1 + 1 = 2$ 。

所以正确答案是 E。

The two bases are the primitive cube roots of unity, $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ and its conjugate $\omega^2 = e^{-\frac{2\pi i}{3}}.$ So $f(n) = \omega^n + \omega^{-n} = 2\cos\dfrac{2\pi n}{3}.$

Since $2022$ is a multiple of $3,$ $\omega^{2022} = 1,$ so $f(2022) = 1 + 1 = 2.$

Thus, the correct answer is E.

2022 AMC 12B 第 11 题

答案：E

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

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