2013 AMC 12A 真题与在线限时测验

计时

1:15:00

1.

正方形 $ABCD$ 的边长为 $10$ 。点 $E$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\triangle ABE$ 的面积为 $40$ 。 $BE$ 是多少？

Square $ABCD$ has side length $10.$ Point $E$ is on $\overline{BC},$ and the area of $\triangle ABE$ is $40.$ What is $BE?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

答案：E

知识点：三角形面积直角三角形

难度评级：840

小提示：

直角三角形 $ABE$ 的两条直角边是 $AB$ 和 $BE$ 。

The legs of right triangle $ABE$ are $AB$ and $BE$

大提示：

用 $AB = 10$ 代入 $\tfrac12\cdot AB\cdot BE = 40$ 。

Set $\tfrac12\cdot AB\cdot BE = 40$ with $AB = 10$

解答：

直角三角形 $ABE$ 的两条直角边为 $AB = 10$ 和 $BE$ 。由 $\tfrac12\cdot 10\cdot BE = 40$ ，得 $BE = 8$ 。

因此，正确答案是 E。

The legs of right triangle $ABE$ are $AB = 10$ and $BE.$ From $\tfrac12\cdot 10\cdot BE = 40,$ we get $BE = 8.$

Thus, the correct answer is E.

2.

一支垒球队打了十场比赛，得分分别为 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $8$ ， $9$ 和 $10$ 分。他们恰好在五场比赛中以一分之差输掉。在其他每场比赛中，他们的得分都是对手的两倍。对手总共得了多少分？

A softball team played ten games, scoring $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ and $10$ runs. They lost by one run in exactly five games. In each of their other games, they scored twice as many runs as their opponent. How many total runs did their opponents score?

$35$

$40$

$45$

$50$

$55$

答案：C

知识点：奇偶性分类讨论

难度评级：1010

小提示：

只有当本队得分为偶数时，才可能是对手得分的两倍

Scoring twice the opponent is only possible when the team’s own score is even

大提示：

五场一分惜败是奇数得分的比赛；每场对手多得一分。

The five one-run losses are the odd-scored games; each opponent scored one more

解答：

只有当本队得分为偶数时，本队得分才可能是对手的两倍。这些比赛的得分为 $2, 4, 6, 8, 10$ ，因而对手得分为 $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ 。

另外五场比赛的本队得分为 $1, 3, 5, 7, 9$ ，且都是一分惜败，所以对手得分为 $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30$ 。总分为 $15 + 30 = 45$ 。

因此，正确答案是 C。

The team can only score twice as many runs as its opponent when its own score is even. Those games have scores $2, 4, 6, 8, 10,$ so their opponents scored $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$

The other five games had scores $1, 3, 5, 7, 9$ and were one-run losses, so their opponents scored $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30.$ The total is $15 + 30 = 45.$

Thus, the correct answer is C.

3.

一束花包含粉玫瑰、红玫瑰、粉康乃馨和红康乃馨。粉色花中有三分之一是玫瑰，红色花中有四分之三是康乃馨，且所有花中有十分之六是粉色。所有花中有百分之几是康乃馨？

A flower bouquet contains pink roses, red roses, pink carnations, and red carnations. One third of the pink flowers are roses, three fourths of the red flowers are carnations, and six tenths of the flowers are pink. What percent of the flowers are carnations?

$15$

$30$

$40$

$60$

$70$

答案：E

知识点：分数百分数

难度评级：1100

小提示：

所有花中十分之六是粉色，十分之四是红色

Six tenths of the flowers are pink and four tenths are red

大提示：

粉色花的三分之二和红色花的四分之三是康乃馨；把两部分相加

Two thirds of the pink and three fourths of the red are carnations; add the two amounts

解答：

所有花中十分之六是粉色，十分之四是红色。因为粉色花中三分之二是康乃馨，所以粉康乃馨占全部花的 $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{6}{10} = \tfrac{4}{10}$ 。

因为红色花中四分之三是康乃馨，所以红康乃馨占全部花的 $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{10} = \tfrac{3}{10}$ 。康乃馨合计占 $\tfrac{4}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{7}{10} = 70\%$ 。

因此，正确答案是 E。

Six tenths of the flowers are pink and four tenths are red. Since two thirds of the pink flowers are carnations, pink carnations make up $\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{6}{10} = \tfrac{4}{10}$ of the flowers.

Since three fourths of the red flowers are carnations, red carnations make up $\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{4}{10} = \tfrac{3}{10}$ of the flowers. Together the carnations are $\tfrac{4}{10} + \tfrac{3}{10} = \tfrac{7}{10} = 70\%.$

Thus, the correct answer is E.

4.

求下式的值： $\dfrac{2^{2014} + 2^{2012}}{2^{2014} - 2^{2012}}\text{？}$

What is the value of $\dfrac{2^{2014} + 2^{2012}}{2^{2014} - 2^{2012}}?$

$-1$

$1$

$\dfrac{5}{3}$

$2013$

$2^{4024}$

答案：C

知识点：指数因式分解

难度评级：1130

小提示：

从分子和分母中都提出因子 $2^{2012}$ 。

Factor $2^{2012}$ out of both the numerator and the denominator

大提示：

这个比值可化简为 $\dfrac{2^2 + 1}{2^2 - 1}$ 。

The ratio reduces to $\dfrac{2^2 + 1}{2^2 - 1}$

解答：

从每一项中提出 $2^{2012}$ ，得 $\dfrac{2^{2012}(2^2 + 1)}{2^{2012}(2^2 - 1)} = \dfrac{4 + 1}{4 - 1} = \dfrac{5}{3}\text{。}$

因此，正确答案是 C。

Factoring $2^{2012}$ from each term gives $\dfrac{2^{2012}(2^2 + 1)}{2^{2012}(2^2 - 1)} = \dfrac{4 + 1}{4 - 1} = \dfrac{5}{3}.$

Thus, the correct answer is C.

5.

Tom、Dorothy 和 Sammy 去度假，并约定平均分摊费用。旅途中 Tom 支付了 $\$105$ ，Dorothy 支付了 $\$125$ ，Sammy 支付了 $\$175$ 。为了平摊费用，Tom 给 Sammy $t$ 美元，Dorothy 给 Sammy $d$ 美元。 $t - d$ 是多少？

Tom, Dorothy, and Sammy went on a vacation and agreed to split the costs evenly. During their trip Tom paid $\$105,$ Dorothy paid $\$125,$ and Sammy paid $\$175.$ In order to share the costs equally, Tom gave Sammy $t$ dollars, and Dorothy gave Sammy $d$ dollars. What is $t - d?$

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

答案：B

知识点：平均数代数变形

难度评级：1130

小提示：

每个人公平应付的金额是总花费的三分之一

Each person’s fair share is one third of the total spent

大提示：

$t$ 和 $d$ 分别表示 Tom 和 Dorothy 比公平份额少付的金额

$t$ and $d$ measure how much Tom and Dorothy each fall short of their fair share

解答：

总花费为 $105 + 125 + 175 = 405$ ，所以每人的公平份额为 $\tfrac13\cdot 405 = 135$ 美元。

于是 $t = 135 - 105 = 30$ ， $d = 135 - 125 = 10$ ，所以 $t - d = 30 - 10 = 20$ 。

因此，正确答案是 B。

The total spent was $105 + 125 + 175 = 405,$ so each fair share is $\tfrac13\cdot 405 = 135$ dollars.

Then $t = 135 - 105 = 30$ and $d = 135 - 125 = 10,$ so $t - d = 30 - 10 = 20.$

Thus, the correct answer is B.

6.

在最近的一场篮球比赛中，Shenille 只出手三分球和两分球。她的三分球命中率为 $20\%$ ，两分球命中率为 $30\%$ 。Shenille 一共出手 $30$ 次。她得了多少分？

In a recent basketball game, Shenille attempted only three-point shots and two-point shots. She was successful on $20\%$ of her three-point shots and $30\%$ of her two-point shots. Shenille attempted $30$ shots. How many points did she score?

$12$

$18$

$24$

$30$

$36$

答案：B

知识点：百分数不变量

难度评级：1250

小提示：

设三分球出手次数为 $x$ ，则两分球出手次数为 $30 - x$

Let $x$ be the number of three-point attempts, so $30 - x$ are two-point attempts

大提示：

她的得分为 $0.2\cdot 3\cdot x + 0.3\cdot 2\cdot(30 - x)$ ；其中 $x$ 项会抵消

Her score is $0.2\cdot 3\cdot x + 0.3\cdot 2\cdot(30 - x);$ the $x$ terms cancel

解答：

如果 Shenille 出手 $x$ 次三分球、 $30 - x$ 次两分球，那么她的得分为 $\begin{gathered} 0.2\cdot 3\cdot x + 0.3\cdot 2\cdot(30 - x) \\ = 0.6x + 0.6(30 - x) \\ = 0.6\cdot 30 = 18 \end{gathered}$ 分。

因此，正确答案是 B。

If Shenille attempted $x$ three-point shots and $30 - x$ two-point shots, she scored $\begin{gathered} 0.2\cdot 3\cdot x + 0.3\cdot 2\cdot(30 - x) \\ = 0.6x + 0.6(30 - x) \\ = 0.6\cdot 30 = 18 \end{gathered}$ points.

Thus, the correct answer is B.

7.

数列 $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ ， $\ldots$ ， $S_{10}$ 满足从第三项开始，每一项都是前两项之和。也就是说， $S_n = S_{n-2} + S_{n-1} \text{ 对所有 } n \ge 3\text{。}$ 已知 $S_9 = 110$ 且 $S_7 = 42$ 。 $S_4$ 是多少？

The sequence $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $\ldots,$ $S_{10}$ has the property that every term beginning with the third is the sum of the previous two. That is, $S_n = S_{n-2} + S_{n-1} \text{ for } n \ge 3.$ Suppose that $S_9 = 110$ and $S_7 = 42.$ What is $S_4?$

$4$

$6$

$10$

$12$

$16$

答案：C

知识点：递推逆推法

难度评级：1270

小提示：

将递推式改写为 $S_{n-2} = S_n - S_{n-1}$ ，然后向前倒推

Rearrange the rule to $S_{n-2} = S_n - S_{n-1}$ and step downward

大提示：

由 $S_9 = S_7 + S_8$ 求出 $S_8$ ，再倒推到 $S_4$ 。

From $S_9 = S_7 + S_8$ find $S_8,$ then work down to $S_4$

解答：

因为 $S_9 = S_7 + S_8$ ，所以 $S_8 = 110 - 42 = 68$ 。然后 $S_6 = S_8 - S_7 = 68 - 42 = 26$ ， $S_5 = S_7 - S_6 = 42 - 26 = 16$ ，且 $S_4 = S_6 - S_5 = 26 - 16 = 10$ 。

因此，正确答案是 C。

Since $S_9 = S_7 + S_8,$ we get $S_8 = 110 - 42 = 68.$ Then $S_6 = S_8 - S_7 = 68 - 42 = 26,$ $S_5 = S_7 - S_6 = 42 - 26 = 16,$ and $S_4 = S_6 - S_5 = 26 - 16 = 10.$

Thus, the correct answer is C.

8.

已知 $x$ 和 $y$ 是不同的非零实数，且 $x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y}$ ， $xy$ 是多少？

Given that $x$ and $y$ are distinct nonzero real numbers such that $x + \dfrac{2}{x} = y + \dfrac{2}{y},$ what is $xy?$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{2}$

$1$

$2$

$4$

答案：D

知识点：代数变形因式分解

难度评级：1400

小提示：

两边同乘 $xy$ 来消去分母

Multiply both sides by $xy$ to clear the fractions

大提示：

结果可因式分解为 $(x - y)(xy - 2) = 0$

The result factors as $(x - y)(xy - 2) = 0$

解答：

同乘 $xy$ 得 $x^2 y + 2y = xy^2 + 2x$ ，所以 $\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0 \end{gathered}\text{。}$

因为 $x \ne y$ ，所以 $xy = 2$ 。

因此，正确答案是 D。

Multiplying by $xy$ gives $x^2 y + 2y = xy^2 + 2x,$ so $\begin{gathered} x^2 y - xy^2 - 2x + 2y \\ = (x - y)(xy - 2) \\ = 0. \end{gathered}$

Since $x \ne y,$ it follows that $xy = 2.$

Thus, the correct answer is D.

9.

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = AC = 28$ ，且 $BC = 20$ 。点 $D$ 、 $E$ 和 $F$ 分别在边 $\overline{AB}$ 、 $\overline{BC}$ 和 $\overline{AC}$ 上，使得 $\overline{DE}$ 和 $\overline{EF}$ 分别平行于 $\overline{AC}$ 和 $\overline{AB}$ 。平行四边形 $ADEF$ 的周长是多少？

In $\triangle ABC,$ $AB = AC = 28$ and $BC = 20.$ Points $D,$ $E,$ and $F$ are on sides $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{AC},$ respectively, such that $\overline{DE}$ and $\overline{EF}$ are parallel to $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively. What is the perimeter of parallelogram $ADEF?$

$48$

$52$

$56$

$60$

$72$

答案：C

知识点：相似等腰三角形平行四边形

难度评级：1460

小提示：

因为 $EF \parallel AB$ ，三角形 $FEC$ 与 $ABC$ 相似，因此是等腰三角形，且 $FE = FC$ 。

Since $EF \parallel AB,$ triangle $FEC$ is similar to $ABC$ and hence isosceles with $FE = FC$

大提示：

周长的一半等于 $AF + FE = AF + FC = AC$ 。

Half the perimeter equals $AF + FE = AF + FC = AC$

解答：

因为 $EF \parallel AB$ ，三角形 $FEC$ 与三角形 $ABC$ 相似，而后者是等腰三角形，所以 $FE = FC$ 。

平行四边形 $ADEF$ 周长的一半为 $AF + FE$ $= AF + FC$ $= AC = 28$ 。因此整个周长为 $56$ 。

因此，正确答案是 C。

Because $EF \parallel AB,$ triangle $FEC$ is similar to triangle $ABC,$ which is isosceles, so $FE = FC.$

Half the perimeter of parallelogram $ADEF$ is $AF + FE$ $= AF + FC$ $= AC = 28.$ The entire perimeter is $56.$

Thus, the correct answer is C.

10.

设 $S$ 为所有正整数 $n$ 的集合，使得 $\dfrac{1}{n}$ 的循环小数表示为 $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是不同的数字。集合 $S$ 中元素的和是多少？

Let $S$ be the set of positive integers $n$ for which $\dfrac{1}{n}$ has the repeating decimal representation $0.\overline{ab} = 0.ababab\ldots,$ with $a$ and $b$ different digits. What is the sum of the elements of $S?$

$11$

$44$

$110$

$143$

$155$

答案：D

知识点：循环小数因数

难度评级：1510

小提示：

两位循环节表示 $\dfrac{1}{n} = \dfrac{\overline{ab}}{99}$ 。

A two-digit repeating block means $\dfrac{1}{n} = \dfrac{\overline{ab}}{99}$

大提示：

所以 $\dfrac{99}{n}$ 是两位数 $\overline{ab}$ ；检查 $99$ 的因数

So $\dfrac{99}{n}$ is the two-digit number $\overline{ab};$ check the divisors of $99$

解答：

若 $\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab}$ ，则 $\dfrac{99}{n} = \overline{ab}$ 是一个两位数。 $99$ 的正因数为 $1, 3, 9, 11, 33, 99$ 。

只有 $n = 11, 33, 99$ 时， $\dfrac{99}{n}$ 分别等于 $09, 03, 01$ ，它们有两个不同的数字。所求和为 $11 + 33 + 99 = 143$ 。

因此，正确答案是 D。

If $\dfrac{1}{n} = 0.\overline{ab},$ then $\dfrac{99}{n} = \overline{ab},$ a two-digit number. The positive divisors of $99$ are $1, 3, 9, 11, 33, 99.$

Only $n = 11, 33, 99$ make $\dfrac{99}{n}$ equal to $09, 03, 01,$ which have two different digits. The requested sum is $11 + 33 + 99 = 143.$

Thus, the correct answer is D.

11.

三角形 $ABC$ 是等边三角形，且 $AB = 1$ 。点 $E$ 和 $G$ 在 $\overline{AC}$ 上，点 $D$ 和 $F$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $\overline{DE}$ 和 $\overline{FG}$ 都平行于 $\overline{BC}$ 。此外，三角形 $ADE$ 以及梯形 $DFGE$ 和 $FBCG$ 的周长都相同。求 $DE + FG$ 。

Triangle $ABC$ is equilateral with $AB = 1.$ Points $E$ and $G$ are on $\overline{AC}$ and points $D$ and $F$ are on $\overline{AB}$ such that both $\overline{DE}$ and $\overline{FG}$ are parallel to $\overline{BC}.$ Furthermore, triangle $ADE$ and trapezoids $DFGE$ and $FBCG$ all have the same perimeter. What is $DE + FG?$

$1$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{21}{13}$

$\dfrac{13}{8}$

$\dfrac{5}{3}$

答案：C

知识点：等边三角形平行线方程组

难度评级：1610

小提示：

设 $x = DE$ 、 $y = FG$ ，用 $x$ 和 $y$ 表示三个周长

Let $x = DE$ and $y = FG,$ and write each of the three perimeters in terms of $x$ and $y$

大提示：

三个相等的周长给出 $3x = 3y - x = 3 - y$ 。

The three equal perimeters give $3x = 3y - x = 3 - y$

解答：

设 $x = DE$ 、 $y = FG$ 。平行线切出的较小区域是等边三角形或等腰梯形，所以周长为 $\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y \end{gathered}\text{。}$

令它们相等， $3x = 3y - x$ 得 $4x = 3y$ ，且 $3x = 3 - y$ 。解得 $x = \tfrac{9}{13}$ 、 $y = \tfrac{12}{13}$ ，所以 $DE + FG = \tfrac{21}{13}$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $x = DE$ and $y = FG.$ The parallel cuts make the small regions equilateral or isosceles trapezoids, so the perimeters are $\begin{gathered} \triangle ADE: 3x, \\ \quad DFGE: 3y - x, \\ \quad FBCG: 3 - y. \end{gathered}$

Setting them equal, $3x = 3y - x$ gives $4x = 3y,$ and $3x = 3 - y.$ Solving yields $x = \tfrac{9}{13}$ and $y = \tfrac{12}{13},$ so $DE + FG = \tfrac{21}{13}.$

Thus, the correct answer is C.

12.

某个三角形的三个角成等差数列，边长为 $4$ ， $5$ ，和 $x$ 。所有可能的 $x$ 值之和等于 $a + \sqrt{b} + \sqrt{c}$ ，其中 $a$ ， $b$ ，和 $c$ 为正整数。 $a + b + c$ 是多少？

The angles in a particular triangle are in arithmetic progression, and the side lengths are $4,$ $5,$ and $x.$ The sum of the possible values of $x$ equals $a + \sqrt{b} + \sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers. What is $a + b + c?$

$36$

$38$

$40$

$42$

$44$

答案：A

知识点：等差数列余弦定理分类讨论

难度评级：1740

小提示：

三个角成等差数列且和为 $180^\circ$ ，所以中间的角必须是 $60^\circ$ 。

Angles in arithmetic progression summing to $180^\circ$ force the middle angle to be $60^\circ$

大提示：

分别讨论哪条边对着 $60^\circ$ 角，并使用余弦定理

Apply the Law of Cosines in each case for which side is opposite the $60^\circ$ angle

解答：

若三个角为 $\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta$ ，它们的和 $3\alpha = 180^\circ$ 给出 $\alpha = 60^\circ$ ，所以其中一个角是 $60^\circ$ 。

若 $x$ 对着 $60^\circ$ 角，由余弦定理得 $\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21\text{，} \end{gathered}$ 所以 $x = \sqrt{21}$ 。

若 $5$ 对着 $60^\circ$ 角，则 $25 = x^2 - 4x + 16$ ，正解为 $x = 2 + \sqrt{13}$ 。若 $4$ 对着该角，则 $16 = x^2 - 5x + 25$ ，没有实数解。

所有可能值的和为 $2 + \sqrt{13} + \sqrt{21}$ ，所以 $a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36$ 。

因此，正确答案是 A。

If the angles are $\alpha - \delta, \alpha, \alpha + \delta,$ their sum $3\alpha = 180^\circ$ gives $\alpha = 60^\circ,$ so one angle is $60^\circ.$

If $x$ is opposite the $60^\circ$ angle, the Law of Cosines gives $\begin{gathered} x^2 = 4^2 + 5^2 - 2\cdot 4\cdot 5\cos 60^\circ \\ = 21, \end{gathered}$ so $x = \sqrt{21}.$

If $5$ is opposite the $60^\circ$ angle, then $25 = x^2 - 4x + 16,$ whose positive solution is $x = 2 + \sqrt{13}.$ If $4$ is opposite, then $16 = x^2 - 5x + 25$ has no real solution.

The sum of the possible values is $2 + \sqrt{13} + \sqrt{21},$ so $a + b + c = 2 + 13 + 21 = 36.$

Thus, the correct answer is A.

13.

设点 $A = (0, 0)$ ， $B = (1, 2)$ ， $C = (3, 3)$ ，和 $D = (4, 0)$ 。一条经过 $A$ 的直线把四边形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分。该直线与 $\overline{CD}$ 交于点 $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right)$ ，其中这些分数均为最简形式。 $p + q + r + s$ 是多少？

Let points $A = (0, 0),$ $B = (1, 2),$ $C = (3, 3),$ and $D = (4, 0).$ Quadrilateral $ABCD$ is cut into equal area pieces by a line passing through $A.$ This line intersects $\overline{CD}$ at point $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ where these fractions are in lowest terms. What is $p + q + r + s?$

$54$

$58$

$62$

$70$

$75$

答案：B

知识点：鞋带公式坐标几何三角形面积

难度评级：1740

小提示：

求出 $ABCD$ 的面积；这条分割线与底边 $AD$ 构成一个面积为一半的三角形

Find the area of $ABCD;$ the cutting line makes a triangle on base $AD$ with half that area

大提示：

底边 $AD = 4$ ，该三角形的高就是 $CD$ 上交点的 $y$ 坐标

With base $AD = 4,$ the triangle’s height is the $y$ -coordinate of the point on $CD$

解答：

由鞋带公式， $ABCD$ 的面积为 $\tfrac{15}{2}$ 。设直线与 $\overline{CD}$ 交于 $G$ 。三角形 $ADG$ 的面积必须为 $\tfrac{15}{4}$ 。

因为 $AD = 4$ 在 $x$ 轴上， $\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}$ 给出 $y_G = \tfrac{15}{8}$ 。直线 $CD$ 为 $y = -3(x - 4)$ ，所以 $x_G = \tfrac{27}{8}$ 。

于是 $p + q + r + s$ $= 27 + 8 + 15 + 8$ $= 58$ 。

因此，正确答案是 B。

By the shoelace formula, the area of $ABCD$ is $\tfrac{15}{2}.$ Let the line meet $\overline{CD}$ at $G.$ Triangle $ADG$ must have area $\tfrac{15}{4}.$

Since $AD = 4$ lies on the $x$ -axis, $\tfrac12\cdot 4\cdot y_G = \tfrac{15}{4}$ gives $y_G = \tfrac{15}{8}.$ Line $CD$ is $y = -3(x - 4),$ so $x_G = \tfrac{27}{8}.$

Then $p + q + r + s$ $= 27 + 8 + 15 + 8$ $= 58.$

Thus, the correct answer is B.

14.

数列 $\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}$ 是一个等差数列。求 $x$ 。

The sequence $\begin{gathered} \log_{12} 162, \ \log_{12} x, \ \log_{12} y, \\ \ \log_{12} z, \ \log_{12} 1250 \end{gathered}$ is an arithmetic progression. What is $x?$

$125\sqrt{3}$

$270$

$162\sqrt{5}$

$434$

$225\sqrt{6}$

答案：B

知识点：对数等比数列等差数列

难度评级：1800

小提示：

对数的差相等，意味着 $162, x, y, z, 1250$ 是等比数列

Equal differences of logs mean $162, x, y, z, 1250$ is a geometric sequence

大提示：

由 $162r^4 = 1250$ 求公比 $r$ 。

Find the common ratio $r$ from $162r^4 = 1250$

解答：

因为这些对数成等差数列， $162, x, y, z, 1250$ 成等比数列。它的公比 $r$ 满足 $162 r^4 = 1250$ ，所以 $r^4 = \tfrac{625}{81}$ ，且 $r = \tfrac53$ 。

因此 $x = 162\cdot\tfrac53 = 270$ 。

因此，正确答案是 B。

Because the logarithms are in arithmetic progression, $162, x, y, z, 1250$ is a geometric sequence. Its common ratio $r$ satisfies $162 r^4 = 1250,$ so $r^4 = \tfrac{625}{81}$ and $r = \tfrac53.$

Therefore $x = 162\cdot\tfrac53 = 270.$

Thus, the correct answer is B.

15.

兔子 Peter 和 Pauline 有三个孩子 Flopsie、Mopsie 和 Cottontail。现在要把这五只兔子分配给四家不同的宠物店，使得没有一家店同时得到一只父母兔和一只孩子兔。不要求每家店都得到兔子。有多少种不同的分配方法？

Rabbits Peter and Pauline have three offspring—Flopsie, Mopsie, and Cottontail. These five rabbits are to be distributed to four different pet stores so that no store gets both a parent and a child. It is not required that every store gets a rabbit. In how many different ways can this be done?

$96$

$108$

$156$

$204$

$372$

答案：D

知识点：分类讨论乘法原理

难度评级：1880

小提示：

按两只父母兔是否去同一家店分类

Split into cases by whether the two parents go to the same store

大提示：

同店：父母有 $4$ 种选择，孩子有 $3^3$ 种分配；不同店：父母有 $4\cdot 3$ 种选择，孩子有 $2^3$ 种分配

Same store: $4$ parent choices and $3^3$ child assignments; different stores: $4\cdot 3$ and $2^3$

解答：

如果两只父母兔在同一家店，有 $4$ 种选择，而每只孩子兔必须去另外三家店之一：共有 $4\cdot 3^3 = 108$ 种。

如果父母兔去不同的店，有 $4\cdot 3 = 12$ 种选择，而每只孩子兔必须去剩下两家店之一：共有 $12\cdot 2^3 = 96$ 种。

总数为 $108 + 96 = 204$ 。

因此，正确答案是 D。

If the two parents share a store, there are $4$ choices for it, and each child must go to one of the other three stores: $4\cdot 3^3 = 108$ ways.

If the parents go to different stores, there are $4\cdot 3 = 12$ choices, and each child must go to one of the two remaining stores: $12\cdot 2^3 = 96$ ways.

The total is $108 + 96 = 204.$

Thus, the correct answer is D.

16.

$A$ 、 $B$ 和 $C$ 是三堆石头。 $A$ 中石头的平均重量为 $40$ 磅， $B$ 中石头的平均重量为 $50$ 磅，合并 $A$ 和 $B$ 两堆后石头的平均重量为 $43$ 磅，合并 $A$ 和 $C$ 两堆后石头的平均重量为 $44$ 磅。合并 $B$ 和 $C$ 两堆后，石头平均重量的最大可能整数值是多少磅？

$A,$ $B,$ and $C$ are three piles of rocks. The mean weight of the rocks in $A$ is $40$ pounds, the mean weight of the rocks in $B$ is $50$ pounds, the mean weight of the rocks in the combined piles $A$ and $B$ is $43$ pounds, and the mean weight of the rocks in the combined piles $A$ and $C$ is $44$ pounds. What is the greatest possible integer value for the mean in pounds of the rocks in the combined piles $B$ and $C?$

$55$

$56$

$57$

$58$

$59$

答案：E

知识点：平均数最优化

难度评级：1980

小提示：

设 $a, b, c$ 为石头数量； $A,B$ 的平均数 $43$ 给出 $7b = 3a$ 。

Let $a, b, c$ be the counts; the $A,B$ mean $43$ gives $7b = 3a$

大提示：

用 $a = 7k,\ b = 3k$ 和 $A,C$ 的平均数 $44$ ，把 $B,C$ 的平均数写成 $k$ 和 $c$ 的式子

Write the $B,C$ mean in terms of $k$ and $c$ using $a = 7k,\ b = 3k$ and the $A,C$ mean $44$

解答：

设 $a, b, c$ 分别为三堆石头的数量。由 $\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43$ ，得 $7b = 3a$ ，所以 $a = 7k$ 且 $b = 3k$ 。

设 $\mu_{BC}$ 为 $B$ 和 $C$ 的平均重量。利用 $A, C$ 的平均数 $44$ 表示出 $\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c}$ ，可得 $\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c}$ ，所以 $(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k$ 。

因为 $B$ 比 $A$ 重，所以 $B$ 和 $C$ 的平均数大于 $44$ ，这迫使 $178 - 3\mu_{BC} \gt 0$ ，即 $\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13$ 。取 $k=15c$ 时可以达到 $59$ ：此时堆 $C$ 的平均重量为 $464$ ，代入上式得 $\mu_{BC}=59$ 。因此最大的整数平均数是 $59$ 。

因此，正确答案是 E。

Let $a, b, c$ be the numbers of rocks in the piles. From $\dfrac{40a + 50b}{a + b} = 43,$ we get $7b = 3a,$ so $a = 7k$ and $b = 3k.$

Let $\mu_{BC}$ be the mean of $B$ and $C.$ Using the $A, C$ mean $44$ to express $\mu_C = \dfrac{28k + 44c}{c},$ we find $\mu_{BC} = \dfrac{178k + 44c}{3k + c},$ so $(\mu_{BC} - 44)c = (178 - 3\mu_{BC})k.$

Since $B$ is heavier than $A,$ the mean of $B$ and $C$ exceeds $44,$ forcing $178 - 3\mu_{BC} \gt 0,$ i.e. $\mu_{BC} \lt \tfrac{178}{3} = 59\tfrac13.$ The value $59$ is attainable by taking $k=15c;$ then pile $C$ has mean $464$ and the displayed formula gives $\mu_{BC}=59.$ Thus the greatest integer mean is $59.$

Thus, the correct answer is E.

17.

一组 $12$ 名海盗同意按如下方式分一箱金币。第 $k$ 个取份额的海盗拿走箱中剩余金币的 $\dfrac{k}{12}$ 。箱中最初的金币数是能使每名海盗都得到正整数枚金币的最小数。第 $12$ 名海盗得到多少枚金币？

A group of $12$ pirates agree to divide a treasure chest of gold coins among themselves as follows. The $k$ th pirate to take a share takes $\dfrac{k}{12}$ of the coins that remain in the chest. The number of coins initially in the chest is the smallest number for which this arrangement will allow each pirate to receive a positive whole number of coins. How many coins does the $12$ th pirate receive?

$720$

$1296$

$1728$

$1925$

$3850$

答案：D

知识点：整除性质因数分解阶乘

难度评级：2050

小提示：

在第 $k$ 名海盗取走份额之前，箱中金币数是取走之后剩余金币数的 $\dfrac{12}{12 - k}$ 倍

Before the $k$ th pirate takes a share, the chest holds $\dfrac{12}{12 - k}$ times what remains after

大提示：

若最后一名海盗拿到 $n$ 枚金币，则初始金币数为 $\dfrac{12^{11}n}{11!}$ ；令它成为整数并使 $n$ 最小

If $n$ coins remain for the last pirate, the initial count is $\dfrac{12^{11}n}{11!};$ make it an integer with smallest $n$

解答：

对 $1 \le k \le 11$ ，第 $k$ 名海盗取走份额之前的金币数，是取走之后金币数的 $\dfrac{12}{12 - k}$ 倍。所以若留给第 $12$ 名海盗的是 $n$ 枚金币，初始金币数为 $\dfrac{12^{11}\, n}{11!} = \dfrac{2^{14}\cdot 3^{7}\, n}{5^2\cdot 7\cdot 11}\text{。}$

使其成为正整数的最小 $n$ 为 $5^2\cdot7\cdot11=1925$ 。在第 $k$ 名海盗取金币之前，剩余的金币数等于初始数目乘以 $\frac{11!}{(12-k)!\,12^{k-1}}$ ；代入这个 $n$ 便可看出它对每个 $k$ 都是整数。因此每个人分到的都是整数枚金币，而第 $12$ 名海盗得到 $1925$ 枚金币。

因此，正确答案是 D。

For $1 \le k \le 11,$ the number of coins before the $k$ th pirate takes a share is $\dfrac{12}{12 - k}$ times the number afterward. So if $n$ coins are left for the $12$ th pirate, the initial count is $\dfrac{12^{11}\, n}{11!} = \dfrac{2^{14}\cdot 3^{7}\, n}{5^2\cdot 7\cdot 11}.$

The smallest $n$ making this a positive integer is $5^2\cdot7\cdot11=1925.$ Before pirate $k,$ the remaining count is the initial count multiplied by $\frac{11!}{(12-k)!\,12^{k-1}};$ substituting this $n$ shows it is an integer for every $k.$ Hence all shares are integral, and the $12$ th pirate receives $1925$ coins.

Thus, the correct answer is D.

18.

六个半径为 $1$ 的球摆放成它们的球心位于边长为 $2$ 的正六边形顶点上。这六个球都内切于一个大球，大球球心是该正六边形的中心。第八个球外切于这六个小球，并内切于大球。这个第八个球的半径是多少？

Six spheres of radius $1$ are positioned so that their centers are at the vertices of a regular hexagon of side length $2.$ The six spheres are internally tangent to a larger sphere whose center is the center of the hexagon. An eighth sphere is externally tangent to the six smaller spheres and internally tangent to the larger sphere. What is the radius of this eighth sphere?

$\sqrt{2}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$\sqrt{3}$

$2$

答案：B

知识点：球立体几何勾股定理

难度评级：2100

小提示：

大球半径为 $3$ ；设第八个球半径为 $r$ ，其球心到中心的距离为 $x$ ，且 $x + r = 3$ 。

The large sphere has radius $3;$ let the eighth sphere have radius $r$ and center at distance $x$ from the center, with $x + r = 3$

大提示：

一个小球球心、中心 $O$ ，和第八个球心构成直角三角形： $(r + 1)^2 = 2^2 + x^2$

A center of a small sphere, the center $O,$ and the eighth center form a right triangle: $(r + 1)^2 = 2^2 + x^2$

解答：

每个小球球心到中心 $O$ 的距离为 $2$ ，而小球半径为 $1$ ，所以大球半径为 $3$ 。设第八个球半径为 $r$ ，球心 $G$ 到 $O$ 的距离为 $x$ ，则 $x + r = 3$ 。

因为 $G$ 到两个相对的六边形顶点等距， $GO$ 垂直于通向某个顶点的线，由勾股定理得 $\begin{gathered} (r + 1)^2 = 2^2 + x^2 \\ = 4 + (3 - r)^2 \end{gathered}\text{。}$

化简得 $2r + 1 = 13 - 6r$ ，所以 $r = \tfrac32$ 。

因此，正确答案是 B。

Each small center is $2$ from the center $O,$ and the small spheres have radius $1,$ so the large sphere has radius $3.$ Let the eighth sphere have radius $r$ and center $G$ at distance $x$ from $O;$ then $x + r = 3.$

Since $G$ is equidistant from two opposite hexagon vertices, $GO$ is perpendicular to the line to a vertex, and the Pythagorean Theorem gives $\begin{gathered} (r + 1)^2 = 2^2 + x^2 \\ = 4 + (3 - r)^2. \end{gathered}$

This simplifies to $2r + 1 = 13 - 6r,$ so $r = \tfrac32.$

Thus, the correct answer is B.

19.

在 $\triangle ABC$ 中， $AB = 86$ ，且 $AC = 97$ 。以 $A$ 为圆心、 $AB$ 为半径的圆与 $\overline{BC}$ 交于点 $B$ 和 $X$ 。此外， $\overline{BX}$ 和 $\overline{CX}$ 的长度都是整数。 $BC$ 是多少？

In $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ and $AC = 97.$ A circle with center $A$ and radius $AB$ intersects $\overline{BC}$ at points $B$ and $X.$ Moreover $\overline{BX}$ and $\overline{CX}$ have integer lengths. What is $BC?$

$11$

$28$

$33$

$61$

$72$

答案：D

知识点：圆幂质因数分解

难度评级：2200

小提示：

从点 $C$ 使用点的幂，得到 $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ 。

Power of a Point from $C$ gives $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$

大提示：

$AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61$ ；在 $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$ 下分解因数

$AC^2 - AB^2 = 2013 = 3\cdot 11\cdot 61;$ factor with $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$

解答：

由点的幂定理， $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ ，其中 $AB$ 是圆的半径。因此 $BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013$ 。

因为 $BC = BX + CX$ 且 $CX$ 都是整数，它们是 $2013 = 3\cdot 11\cdot 61$ 的一对互补因数。由于 $CX \lt BC \lt AB + AC = 183$ ，唯一可能是 $CX = 33$ 且 $BC = 61$ 。

因此，正确答案是 D。

By the Power of a Point Theorem, $BC\cdot CX = AC^2 - AB^2$ where $AB$ is the radius. Thus $BC\cdot CX = 97^2 - 86^2 = 2013.$

Since $BC = BX + CX$ and $CX$ are integers, they are complementary factors of $2013 = 3\cdot 11\cdot 61.$ As $CX \lt BC \lt AB + AC = 183,$ the only possibility is $CX = 33$ and $BC = 61.$

Thus, the correct answer is D.

20.

设 $S$ 为集合 $\{1, 2, 3, \ldots, 19\}$ 。对 $a$ ， $b \in S$ ，定义 $a \succ b$ 表示 $0 \lt a - b \le 9$ 或 $b - a \gt 9$ 。有多少个由 $S$ 中元素组成的有序三元组 $(x, y, z)$ 满足 $x \succ y$ 、 $y \succ z$ 且 $z \succ x$ ？

Let $S$ be the set $\{1, 2, 3, \ldots, 19\}.$ For $a,$ $b \in S,$ define $a \succ b$ to mean that either $0 \lt a - b \le 9$ or $b - a \gt 9.$ How many ordered triples $(x, y, z)$ of elements of $S$ have the property that $x \succ y,$ $y \succ z,$ and $z \succ x?$

$810$

$855$

$900$

$950$

$988$

答案：B

知识点：模运算基本计数

难度评级：2220

小提示：

在模 $19$ 意义下考虑；此时 $a \succ b$ 等价于 $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9$

Work modulo $19;$ then $a \succ b$ means $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9$

大提示：

固定 $x$ （ $19$ 种）；令 $y = x + i$ ，其中 $1 \le i \le 9$ ，则 $z$ 有 $i$ 种选择

Fix $x$ ( $19$ ways); let $y = x + i$ with $1 \le i \le 9,$ then $z$ has $i$ options

解答：

把元素按模 $19$ 来看，关系 $a \succ b$ 恰好在 $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9$ 时成立。

$x$ 有 $19$ 种选择。固定 $x$ 后，令 $y = x + i$ ，其中 $1 \le i \le 9$ 。那么 $z$ 必须满足 $x + 10 \le z \le x + 9 + i$ ，因而有 $i$ 种选择。

总数为 $19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45$ $= 855$ 。

因此，正确答案是 B。

Reading the elements modulo $19,$ the relation $a \succ b$ holds exactly when $0 \lt (a - b) \bmod 19 \le 9.$

There are $19$ choices for $x.$ Once $x$ is fixed, take $y = x + i$ for some $1 \le i \le 9.$ Then $z$ must satisfy $x + 10 \le z \le x + 9 + i,$ giving $i$ choices.

The total is $19(1 + 2 + \cdots + 9) = 19\cdot 45$ $= 855.$

Thus, the correct answer is B.

21.

考虑 $\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))) \end{gathered}\text{。}$

以下哪个区间包含 $A$ ？

Consider $\begin{gathered} A = \\ \tiny \log(2013 + \log(2012 + \log(2011 + \log(\cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)))). \end{gathered}$

Which of the following intervals contains $A?$

$(\log 2016, \log 2017)$

$(\log 2017, \log 2018)$

$(\log 2018, \log 2019)$

$(\log 2019, \log 2020)$

$(\log 2020, \log 2021)$

答案：A

知识点：对数极限情形界定数学归纳法

难度评级：2210

小提示：

跟踪嵌套值所在范围：较小 $n$ 时有 $0 \lt A_n \lt 1$ ，之后有 $1 \lt A_n \lt 2$ ，等等

Track where the nested value sits: $0 \lt A_n \lt 1$ for small $n,$ then $1 \lt A_n \lt 2,$ etc.

大提示：

当 $n = 2012$ 时，该值满足 $3 \lt A_{2012} \lt 4$ ，再估计 $2013 + A_{2012}$ 。

For $n = 2012$ the value satisfies $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ so estimate $2013 + A_{2012}$

解答：

设 $\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots))$ 。可以检查 $2 \le n \le 9$ 时 $0 \lt A_n \lt 1$ ， $10 \le n \le 98$ 时 $1 \lt A_n \lt 2$ ， $99 \le n \le 997$ 时 $2 \lt A_n \lt 3$ ，且 $998 \le n \le 9996$ 时 $3 \lt A_n \lt 4$ 。

因此 $3 \lt A_{2012} \lt 4$ ，所以 $2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017$ ，从而 $\log 2016 \lt A \lt \log 2017$ 。

因此，正确答案是 A。

Let $\tiny A_n = \log(n + \log((n-1) + \cdots + \log(3 + \log 2)\cdots)).$ One checks $0 \lt A_n \lt 1$ for $2 \le n \le 9,$ then $1 \lt A_n \lt 2$ for $10 \le n \le 98,$ then $2 \lt A_n \lt 3$ for $99 \le n \le 997,$ and $3 \lt A_n \lt 4$ for $998 \le n \le 9996.$

Hence $3 \lt A_{2012} \lt 4,$ so $2016 \lt 2013 + A_{2012} \lt 2017$ and therefore $\log 2016 \lt A \lt \log 2017.$

Thus, the correct answer is A.

22.

回文数是一个非负整数，按 $10$ 进制书写且没有前导零时，从前往后读和从后往前读相同。随机均匀选取一个 $6$ 位回文数 $n$ ， $\dfrac{n}{11}$ 也是回文数的概率是多少？

A palindrome is a nonnegative integer number that reads the same forwards and backwards when written in base $10$ with no leading zeros. A $6$ -digit palindrome $n$ is chosen uniformly at random. What is the probability that $\dfrac{n}{11}$ is also a palindrome?

$\dfrac{8}{25}$

$\dfrac{33}{100}$

$\dfrac{7}{20}$

$\dfrac{9}{25}$

$\dfrac{11}{30}$

答案：E

知识点：回文数基本概率数字

难度评级：2440

小提示：

证明 $m = \dfrac{n}{11}$ 必须是一个 $5$ 位回文数 $\overline{abcba}$ 。

Show $m = \dfrac{n}{11}$ must be a $5$ -digit palindrome $\overline{abcba}$

大提示：

乘积 $11m$ 是回文数当且仅当 $a + b \le 9$ 且 $b + c \le 9$ ；计数这些情况

The product $11m$ is a palindrome exactly when $a + b \le 9$ and $b + c \le 9;$ count those

解答：

令 $m= \frac{n}{11}$ 。如果 $m$ 是四位数，那么 $n<110000$ ，所以六位回文数 $n$ 的首位和末位都必须是 $1$ 。这迫使回文数 $m$ 的首位和末位也都是 $1$ ，从而 $m<2000$ 且 $n<22000$ ，矛盾。因此 $m$ 是五位回文数 $\overline{abcba}$ 。

写成 $n=11m=\overline{abcba0}+\overline{abcba}$ ，恰好在 $a+b\le9$ 且 $b+c\le9$ 时没有进位；所得数字依次为 $a,a+b,b+c,b+c,a+b,a$ 。若 $a+b\ge10$ ，首位与末位不同；若只有 $b+c\ge10$ ，第二位与倒数第二位不同。所以这些条件也是必要的。有效的 $m$ 的个数是 $\sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330\text{。}$

六位回文数共有 $9\cdot 10^2 = 900$ 个，所以概率为 $\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}$ 。

因此，正确答案是 E。

Let $m= \frac{n}{11}.$ If $m$ had four digits, then $n<110000,$ so the first and last digits of the six-digit palindrome $n$ would both be $1.$ This forces the first and last digits of the palindromic $m$ to be $1,$ hence $m<2000$ and $n<22000,$ a contradiction. Therefore $m$ is a five-digit palindrome $\overline{abcba}.$

Writing $n=11m=\overline{abcba0}+\overline{abcba},$ no carries occur exactly when $a+b\le9$ and $b+c\le9;$ the resulting digits are $a,a+b,b+c,b+c,a+b,a.$ If $a+b\ge10,$ the leading and trailing digits differ; if only $b+c\ge10,$ the next pair differs. Thus the conditions are also necessary. The number of valid $m$ is $\sum_{b=0}^{9}(10 - b)(9 - b) = 330.$

There are $9\cdot 10^2 = 900$ six-digit palindromes, so the probability is $\dfrac{330}{900} = \dfrac{11}{30}.$

Thus, the correct answer is E.

23.

$ABCD$ 是一个边长为 $\sqrt{3} + 1$ 的正方形。点 $P$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $AP = \sqrt{2}$ 。将正方形 $ABCD$ 围成的区域绕中心 $P$ 逆时针旋转 $90^\circ$ ，扫过区域的面积为 $\dfrac{1}{c}(a\pi + b)$ ，其中 $a$ ， $b$ 和 $c$ 为正整数且 $\gcd(a, b, c) = 1$ 。求 $a + b + c$ 。

$ABCD$ is a square of side length $\sqrt{3} + 1.$ Point $P$ is on $\overline{AC}$ such that $AP = \sqrt{2}.$ The square region bounded by $ABCD$ is rotated $90^\circ$ counterclockwise with center $P,$ sweeping out a region whose area is $\dfrac{1}{c}(a\pi + b),$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $\gcd(a, b, c) = 1.$ What is $a + b + c?$

$15$

$17$

$19$

$21$

$23$

答案：C

知识点：变换扇形面积分割

难度评级：2520

小提示：

跟踪像点 $A', B', C', D'$ ；扫过区域由四个圆扇形和四个三角形组成

Track the images $A', B', C', D';$ the swept region is four circular sectors plus four triangles

大提示：

$AP = \sqrt{2}$ 且 $PC = \sqrt{6}$ 给出扇形半径，而 $\triangle BPH$ 是 $30$ - $60$ - $90$ 度三角形。

$AP = \sqrt{2}$ and $PC = \sqrt{6}$ give the sector radii, and $\triangle BPH$ is a $30$ – $60$ – $90$ triangle

解答：

设 $A', B', C', D'$ 为各顶点旋转后的像。扫过的区域可分解为四个圆扇形和四个三角形。

因为 $AP = \sqrt{2}$ 且 $PC = AC - AP = \sqrt{6}$ ，所以 $A$ 和 $C$ 处的扇形面积分别为 $\tfrac{\pi}{2}$ 和 $\tfrac{3\pi}{2}$ 。若 $H$ 是 $AA'$ 的中点，则 $PH=AH=1$ 且 $HB=\sqrt3$ ，所以 $\triangle BPH$ 是 $30$ - $60$ - $90^\circ$ 三角形，并且 $PB=2$ 。因此沿 $BC$ 的两个 $60^\circ$ 扇形面积各为 $\frac{2\pi}{3}$ 。以 $PH$ 为高的两个三角形贡献 $\sqrt3-1$ ，另一对全等三角形的高为 $\sqrt3$ ，贡献 $3-\sqrt3$ 。所以四个三角形共贡献 $2$ 。

总面积为 $\begin{gathered} \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\cdot\dfrac{2\pi}{3} + 2 \\ = \dfrac{10\pi + 6}{3} \end{gathered}\text{，}$ 因此 $a + b + c = 10 + 6 + 3 = 19$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $A', B', C', D'$ be the images of the vertices under the rotation. The swept region decomposes into four circular sectors and four triangles.

Since $AP = \sqrt{2}$ and $PC = AC - AP = \sqrt{6},$ the sectors at $A$ and $C$ have areas $\tfrac{\pi}{2}$ and $\tfrac{3\pi}{2}.$ If $H$ is the midpoint of $AA',$ then $PH=AH=1$ and $HB=\sqrt3,$ so $\triangle BPH$ is a $30$ - $60$ - $90^\circ$ triangle and $PB=2.$ Hence the two $60^\circ$ sectors along $BC$ each have area $\frac{2\pi}{3}.$ The two triangles with altitude $PH$ contribute $\sqrt3-1,$ and the other congruent pair has altitude $\sqrt3$ and contributes $3-\sqrt3.$ Thus the four triangles contribute $2.$

The total area is $\begin{gathered} \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{2} + 2\cdot\dfrac{2\pi}{3} + 2 \\ = \dfrac{10\pi + 6}{3}, \end{gathered}$ so $a + b + c = 10 + 6 + 3 = 19.$

Thus, the correct answer is C.

24.

从所有以正 $12$ 边形顶点为端点的线段中随机选取三条不同的线段。这三条线段的长度能作为一个面积为正的三角形的三条边长的概率是多少？

Three distinct segments are chosen at random among the segments whose endpoints are the vertices of a regular $12$ -gon. What is the probability that the lengths of these three segments are the three side lengths of a triangle with positive area?

$\dfrac{553}{715}$

$\dfrac{443}{572}$

$\dfrac{111}{143}$

$\dfrac{81}{104}$

$\dfrac{223}{286}$

答案：E

知识点：正多边形三角不等式补集计数

难度评级：2650

小提示：

共有 $6$ 种可能长度 $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ ；统计每种长度有多少条线段

There are $6$ possible lengths $d_k = 2\sin(15k^\circ);$ count how many segments have each length

大提示：

用补集计数：减去最长边长度大于或等于另外两边长度之和的三元组

Use complementary counting: subtract the triples whose longest length is at least the sum of the other two

解答：

将正 $12$ 边形内接于单位圆。线段长度为 $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ ，其中 $1 \le k \le 6$ ，长度 $d_1, \ldots, d_5$ 各有 $12$ 条，长度 $d_6$ 有 $6$ 条。

比较各和，满足 $d_a \le d_b \le d_c$ 且 $d_c \ge d_a + d_b$ 的禁用指标三元组 $(a, b, c)$ 为 $\begin{gathered} (1,1,3),(1,1,4),(1,1,5), \\ (1,1,6),(1,2,4),(1,2,5), \\ (1,2,6),(1,3,5),(1,3,6), \\ (2,2,6) \end{gathered}\text{。}$

前三个以 $3,4,5$ 结尾的三元组贡献 $3\binom{12}{2}12$ ；两个以 $6$ 结尾且有重复长度的三元组贡献 $2\binom{12}{2}6$ ；三个长度互异且不含直径的三元组贡献 $3\cdot12^3$ ；剩下两个含直径的三元组贡献 $2\cdot12^2\cdot6$ 。将总和除以 $\binom{66}{3}$ ，得到失败概率 $\frac{63}{286}$ ，所以答案是 $1-\frac{63}{286}=\frac{223}{286}$ 。

因此，正确答案是 E。

Inscribe the $12$ -gon in a unit circle. The segment lengths are $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ for $1 \le k \le 6,$ with $12$ segments of each length $d_1, \ldots, d_5$ and $6$ of length $d_6.$

Comparing sums, the forbidden index triples $(a, b, c)$ with $d_a \le d_b \le d_c$ and $d_c \ge d_a + d_b$ are $\begin{gathered} (1,1,3),(1,1,4),(1,1,5), \\ (1,1,6),(1,2,4),(1,2,5), \\ (1,2,6),(1,3,5),(1,3,6), \\ (2,2,6). \end{gathered}$

The first three triples ending in $3,4,5$ contribute $3\binom{12}{2}12;$ the two repeated-length triples ending in $6$ contribute $2\binom{12}{2}6;$ the three triples of distinct non-diameter lengths contribute $3\cdot12^3;$ and the two remaining diameter triples contribute $2\cdot12^2\cdot6.$ Dividing their sum by $\binom{66}{3}$ gives failure probability $\frac{63}{286},$ so the answer is $1-\frac{63}{286}=\frac{223}{286}.$

Thus, the correct answer is E.

25.

定义函数 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 为 $f(z) = z^2 + iz + 1$ 。有多少个复数 $z$ 满足 $\operatorname{Im}(z) \gt 0$ ，并且 $f(z)$ 的实部和虚部都是绝对值至多为 $10$ 的整数？

Let $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ be defined by $f(z) = z^2 + iz + 1.$ How many complex numbers $z$ are there such that $\operatorname{Im}(z) \gt 0$ and both the real and the imaginary parts of $f(z)$ are integers with absolute value at most $10?$

$399$

$401$

$413$

$431$

$441$

答案：A

知识点：复数格点

难度评级：2790

小提示：

证明 $f$ 在上半平面上一一对应到其像，所以计数 $z$ 等价于计数有效的 $f(z)$

Show $f$ is one-to-one on the upper half-plane, so counting $z$ equals counting valid $f(z)$

大提示：

像集为 $\{w : \operatorname{Re}(w) \lt (\operatorname{Im}(w))^2 + 1\}$ ；统计满足 $|\operatorname{Re}|, |\operatorname{Im}| \le 10$ 的格点

The image is $\{w : \operatorname{Re}(w) \lt (\operatorname{Im}(w))^2 + 1\};$ count lattice points with $|\operatorname{Re}|, |\operatorname{Im}| \le 10$

解答：

在上半平面 $H$ 上，若 $f(z_1) = f(z_2)$ ，则 $(z_1 - z_2)(z_1 + z_2 + i) = 0$ ；因为 $\operatorname{Im}(z_1), \operatorname{Im}(z_2) \gt 0$ ，因子 $z_1 + z_2 + i \ne 0$ ，所以 $f$ 在 $H$ 上是一一的。

当 $r$ 取实数时，边界上的值 $f(r)=r^2+1+ir$ 描出抛物线 $\operatorname{Re}(w)=(\operatorname{Im}(w))^2+1$ 。因为 $f(i)=-1$ 位于它的左侧，而 $f$ 在 $H$ 上连续且一一对应，所以它的像恰好由满足 $\operatorname{Re}(w)<(\operatorname{Im}(w))^2+1$ 的所有 $w$ 组成。因此我们计数满足 $a, b \in \mathbb{Z}$ 、 $|a|, |b| \le 10$ 且 $a \lt b^2 + 1$ 的 $w = a + ib$ ： $\begin{gathered} |S| = 21^2 \\ {}- \sum_{b=-3}^{3}(10 - b^2) \\ = 441 - 42 = 399 \end{gathered}\text{。}$

因此，正确答案是 A。

On the upper half-plane $H,$ if $f(z_1) = f(z_2)$ then $(z_1 - z_2)(z_1 + z_2 + i) = 0;$ since $\operatorname{Im}(z_1), \operatorname{Im}(z_2) \gt 0,$ the factor $z_1 + z_2 + i \ne 0,$ so $f$ is one-to-one on $H.$

For real $r,$ the boundary values $f(r)=r^2+1+ir$ trace the parabola $\operatorname{Re}(w)=(\operatorname{Im}(w))^2+1.$ Since $f(i)=-1$ lies to its left and $f$ is continuous and one-to-one on $H,$ its image consists precisely of the values $w$ satisfying $\operatorname{Re}(w)<(\operatorname{Im}(w))^2+1.$ Thus we count $w = a + ib$ with $a, b \in \mathbb{Z},$ $|a|, |b| \le 10,$ and $a \lt b^2 + 1:$ $\begin{gathered} |S| = 21^2 \\ {}- \sum_{b=-3}^{3}(10 - b^2) \\ = 441 - 42 = 399. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.