Question

一条直线经过 $A(1, 1)$ 和 $B(100, 1000)$ 。在线段 $A$ 与 $B$ 之间且坐标均为整数的其他点有多少个？

A line passes through $A(1, 1)$ and $B(100, 1000).$ How many other points with integer coordinates are on the line and strictly between $A$ and $B?$

$0$

$2$

$3$

$8$

$9$

答案：D

知识点：格点最大公约数斜率

难度评级：1660

小提示：

把斜率 $\dfrac{1000 - 1}{100 - 1}$ 约到最简。

Reduce the slope $\dfrac{1000 - 1}{100 - 1}$ to lowest terms

大提示：

直线上的点形如 $(1 + 11t,\ 1 + 111t)$ ；数出严格在两端之间的整数 $t$ 。

Points on the line take the form $(1 + 11t,\ 1 + 111t);$ count integer $t$ strictly between the endpoints

解答：

斜率为 $\dfrac{1000 - 1}{100 - 1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}\text{。}$

直线上的点形如 $(1 + 11t,\ 1 + 111t)$ ，并且恰好在 $t$ 为整数时是格点。该点严格位于 $A$ 、 $B$ 之间时， $0 \lt t \lt 9$ 。

这样的整数 $t$ 共有 $8$ 个，因此符合条件的格点有 $8$ 个。

所以正确答案是 D。

The slope is $\dfrac{1000 - 1}{100 - 1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}.$

So every point on the line has the form $(1 + 11t,\ 1 + 111t),$ which is a lattice point exactly when $t$ is an integer. The point is strictly between $A$ and $B$ when $0 \lt t \lt 9.$

There are $8$ such integers $t,$ giving $8$ lattice points.

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 12A 第 12 题

答案：D

难度评级：1660

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题