Question

在右图中， $CD$ 是以 $O$ 为圆心的半圆的直径。点 $A$ 位于 $DC$ 经过 $C$ 后的延长线上；点 $E$ 位于半圆上，点 $B$ 是线段 $AE$ 与半圆除 $E$ 以外的另一个交点。若线段 $AB$ 与 $OD$ 等长，且 $\angle EOD$ 的度数为 $45^\circ$ ，则 $\angle BAO$ 的度数为

In the adjoining figure, $CD$ is the diameter of a semicircle with center $O.$ Point $A$ lies on the extension of $DC$ past $C;$ point $E$ lies on the semicircle, and $B$ is the point of intersection (distinct from $E$ ) of line segment $AE$ with the semicircle. If length $AB$ equals length $OD,$ and the measure of $\angle EOD$ is $45^\circ,$ then the measure of $\angle BAO$ is

$10^\circ$

$15^\circ$

$20^\circ$

$25^\circ$

$30^\circ$

答案：B

知识点：圆等腰三角形导角

难度评级：1980

小提示：

令 $y=\angle BAO$ ，并利用 $AB=OB=OE$

Let $y=\angle BAO$ and use $AB=OB=OE$

大提示：

利用等腰三角形和 $45^\circ$ 的圆心角，用两种方式表示 $\angle BOE$

Express $\angle BOE$ in two ways using the isosceles triangles and the $45^\circ$ central angle

解答：

令 $y=\angle BAO$ 。因为 $AB=OB$ ，所以 $\angle AOB=y$ ，从而 $\angle EBO=2y$ 。又因为 $OB=OE$ ，所以 $\angle BEO=2y$ ，且 $\angle BOE=180^\circ-4y$ 。另一方面， $\angle BOD=180^\circ-y\text{，}$ 所以 $\angle BOE=135^\circ-y$ 。因此 $180^\circ-4y=135^\circ-y$ ，解得 $y=15^\circ$ 。

因此，正确答案是 B。

Let $y=\angle BAO.$ Since $AB=OB,$ $\angle AOB=y,$ so $\angle EBO=2y.$ Also $OB=OE,$ hence $\angle BEO=2y$ and $\angle BOE=180^\circ-4y.$ On the other hand, $\angle BOD=180^\circ-y,$ so $\angle BOE=135^\circ-y.$ Therefore $180^\circ-4y=135^\circ-y,$ giving $y=15^\circ.$

Therefore, the correct answer is B.

1979 AMC 12 第 12 题

答案：B

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题