Question

直线 $L_1$ 和 $L_2$ 的方程分别为 $y=mx$ 和 $y=nx$ 。设 $L_1$ 与水平方向的夹角（从正 $x$ 轴起逆时针测量）是 $L_2$ 与水平方向夹角的两倍，并且 $L_1$ 的斜率是 $L_2$ 斜率的 $4$ 倍。若 $L_1$ 不是水平线，则 $mn$ 等于

The equations of $L_1$ and $L_2$ are $y=mx$ and $y=nx,$ respectively. Suppose $L_1$ makes twice as large an angle with the horizontal (measured counterclockwise from the positive $x$ -axis) as does $L_2,$ and that $L_1$ has $4$ times the slope of $L_2.$ If $L_1$ is not horizontal, then $mn$ is

$\frac{\sqrt2}{2}$

$-\frac{\sqrt2}{2}$

$2$

$-2$

由所给信息不能唯一确定

not uniquely determined by the given information

答案：C

知识点：斜率三角恒等式方程组

难度评级：1980

小提示：

设 $L_2$ 的倾角为 $\theta$

Let the angle of inclination of $L_2$ be $\theta$

大提示：

把 $m=4n$ 代入 $\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

Substitute $m=4n$ into $\tan(2\theta)=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$

解答：

令 $\tan\theta=n$ 。则 $m=\tan(2\theta)$ ，并且 $m=4n$ 。因此 $4n=\frac{2n}{1-n^2}\text{。}$ 由非水平条件可知 $n\ne0$ ，所以 $2(1-n^2)=1$ ，即 $n^2=\frac{1}{2}$ 。因此 $mn=4n^2=2$ 。

因此，正确答案是 C。

Let $\tan\theta=n.$ Then $m=\tan(2\theta)$ and also $m=4n.$ Hence $4n=\frac{2n}{1-n^2}.$ The nonhorizontal condition gives $n\ne0,$ so $2(1-n^2)=1,$ or $n^2=\frac{1}{2}.$ Thus $mn=4n^2=2.$

Therefore, the correct answer is C.

1980 AMC 12 第 12 题

答案：C

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题