Question

集合 $S$ 由边长均为小于 $5$ 的正整数的三角形组成，且 $S$ 中没有两个元素全等或相似。 $S$ 最多可以有多少个元素？

A set $S$ consists of triangles whose sides have integer lengths less than $5,$ and no two elements of $S$ are congruent or similar. What is the largest number of elements that $S$ can have?

$8$

$9$

$10$

$11$

$12$

答案：B

知识点：三角不等式相似系统列举

难度评级：1770

小提示：

用 $\{1,2,3,4\}$ 中的数按非递增顺序列出每个三角形的三边。

List each triangle by its sides in nonincreasing order using values from $\{1,2,3,4\}$

大提示：

去掉不满足三角形不等式的，并注意 $2,2,1$ 和 $4,4,2$ 相似，只能计一次。

Drop those failing the triangle inequality, and count $2,2,1$ and $4,4,2$ only once since they are similar

解答：

按非递增顺序写出每个三角形的边长。等边三角形只能选一个（它们都相似），并且相似的一对 $2,2,1$ 和 $4,4,2$ 中也只能选一个。

其余有效且两两不相似的三角形为 $\begin{gathered} 4\,4\,3,\ 4\,4\,1,\ 4\,3\,3,\ 4\,3\,2,\ \\ 3\,3\,2,\ 3\,3\,1,\ 3\,2\,2\text{，} \end{gathered}$ 一共七个。再加上一个等边三角形和相似对中的一个， $S$ 最多有 $9$ 个元素。

所以正确答案是 B。

Write each triangle by its side lengths in nonincreasing order. Only one equilateral triangle is allowed (all are similar), and of the similar pair $2,2,1$ and $4,4,2$ only one may appear.

The remaining valid, pairwise non-similar triangles are $\begin{gathered} 4\,4\,3,\ 4\,4\,1,\ 4\,3\,3,\ 4\,3\,2,\ \\ 3\,3\,2,\ 3\,3\,1,\ 3\,2\,2, \end{gathered}$ seven in all. Together with one equilateral and one of the similar pair, $S$ has at most $9$ elements.

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12B 第 12 题

答案：B

难度评级：1770

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 12 题