La ecuación √x+4-√x-3+1=0 tiene:

(C) una raíz real y una raíz imaginaria

Para que la ecuación (1+x)/(1-x)=(N+1)/(N) sea cierta cuando N es positivo, x puede tomar:

(A) cualquier valor positivo menor que 1

(B) cualquier valor menor que 1

(D) cualquier valor no negativo

1956 AMC 12 — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

El valor de $x+x(x^x)$ cuando $x=2$ es:

The value of $x+x(x^x)$ when $x=2$ is:

$10$

$16$

$18$

$36$

$64$

Respuesta: A

Conceptos:exponents orden de las operaciones sustitución

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Evalúa la potencia $x^x$ antes de hacer la multiplicación

Evaluate the exponent $x^x$ before doing the multiplication

Pista grande:

Para $x=2,$ el segundo término es $2(2^2)$

At $x=2,$ the second term is $2(2^2)$

Solución:

Al sustituir $x=2,$ y evaluar primero la potencia, se obtiene $\begin{aligned} x+x(x^x)&=2+2(2^2)\\ &=2+8=10. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Substituting $x=2,$ and evaluating the exponent first, gives $\begin{aligned} x+x(x^x)&=2+2(2^2)\\ &=2+8=10. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is A.

2.

El Sr. Jones vendió dos pipas a $\$1.20$ cada una. Con respecto al costo, obtuvo una ganancia del $20\%$ en una y, en la otra, una pérdida del $20\%.$ En la venta de las pipas:

Mr. Jones sold two pipes at $\$1.20$ each. Based on the cost his profit on one was $20\%$ and his loss on the other was $20\%.$ On the sale of the pipes, he:

quedó a mano

broke even

perdió $4$ ¢

lost $4$ ¢

ganó $4$ ¢

gained $4$ ¢

perdió $10$ ¢

lost $10$ ¢

ganó $10$ ¢

gained $10$ ¢

Respuesta: D

Conceptos:profit and loss reverse percentages cost price

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Recupera cada costo dividiendo el precio de venta entre $1.2$ o $0.8$

Recover each cost by dividing the sale price by $1.2$ or $0.8$

Pista grande:

Compara el costo total con el precio de venta total de $\$2.40$

Compare the combined cost with the combined selling price of $\$2.40$

Solución:

La pipa vendida con una ganancia del $20\%$ costó $\frac{\$1.20}{1.20}=\$1.00,$ mientras que la vendida con una pérdida del $20\%$ costó $\frac{\$1.20}{0.80}=\$1.50.$ Su costo total fue de $\$2.50,$ pero se vendieron por $\$2.40,$ así que el Sr. Jones perdió $10$ centavos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The pipe sold at a $20\%$ profit cost $\frac{\$1.20}{1.20}=\$1.00,$ while the pipe sold at a $20\%$ loss cost $\frac{\$1.20}{0.80}=\$1.50.$ Their combined cost was $\$2.50,$ but they sold for $\$2.40,$ so Mr. Jones lost $10$ cents.

Thus, the correct answer is D.

3.

La distancia que recorre la luz en un año es aproximadamente $5{,}870{,}000{,}000{,}000$ millas. La distancia que recorre en $100$ años es:

The distance light travels in one year is approximately $5{,}870{,}000{,}000{,}000$ miles. The distance light travels in $100$ years is:

$587\times10^8$ millas

$587\times10^8$ miles

$587\times10^{10}$ millas

$587\times10^{10}$ miles

$587\times10^{-10}$ millas

$587\times10^{-10}$ miles

$587\times10^{12}$ millas

$587\times10^{12}$ miles

$587\times10^{-12}$ millas

$587\times10^{-12}$ miles

Respuesta: D

Conceptos:scientific notation powers of ten multiplication

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

Multiplicar por $100$ desplaza el punto decimal dos lugares a la derecha

Multiplying by $100$ moves the decimal point two places to the right

Pista grande:

Reescribe la distancia dada como $587\times10^{10}$

Rewrite the given distance as $587\times10^{10}$

Solución:

La distancia dada es $587\times10^{10}$ millas. Al multiplicar por $100=10^2$ se obtiene $(587\times10^{10})10^2=587\times10^{12}$ millas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The given distance is $587\times10^{10}$ miles. Multiplying by $100=10^2$ gives $(587\times10^{10})10^2=587\times10^{12}$ miles.

Thus, the correct answer is D.

4.

Un hombre dispone de $\$10{,}000$ para invertir. Invierte $\$4{,}000$ al $5\%$ y $\$3{,}500$ al $4\%.$ Para obtener un ingreso anual de $\$500,$ debe invertir el resto al:

A man has $\$10{,}000$ to invest. He invests $\$4{,}000$ at $5\%$ and $\$3{,}500$ at $4\%.$ In order to have a yearly income of $\$500,$ he must invest the remainder at:

$6\%$

$6.1\%$

$6.2\%$

$6.3\%$

$6.4\%$

Respuesta: E

Conceptos:simple interest weighted investment percentages

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Halla primero tanto el capital aún no invertido como el ingreso que todavía necesita

First find both the uninvested principal and the income still needed

Pista grande:

Las dos primeras inversiones producen $\$200$ y $\$140$ al año

The first two investments earn $\$200$ and $\$140$ per year

Solución:

La cantidad que queda por invertir es $10000-4000-3500=2500.$ Las dos primeras inversiones producen $0.05(4000)+0.04(3500)=340$ dólares, así que la inversión restante debe producir $500-340=160$ dólares. La tasa necesaria es $\frac{160}{2500}=0.064=6.4\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The amount left to invest is $10000-4000-3500=2500.$ The first two investments earn $0.05(4000)+0.04(3500)=340$ dollars, so the remaining investment must earn $500-340=160$ dollars. Its required rate is $\frac{160}{2500}=0.064=6.4\%.$

Thus, the correct answer is E.

5.

Se coloca una moneda de cinco centavos sobre una mesa. El número de monedas de cinco centavos que pueden colocarse a su alrededor, cada una tangente a ella y a otras dos, es:

A nickel is placed on a table. The number of nickels which can be placed around it, each tangent to it and to two others is:

$4$

$5$

$6$

$8$

$12$

Respuesta: C

Conceptos:circle packing central angles regular hexagon

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Une el centro de la moneda central con los centros de dos monedas vecinas

Join the center of the middle nickel to the centers of two neighboring nickels

Pista grande:

Esos tres círculos iguales y mutuamente tangentes forman un triángulo equilátero de centros

Those three mutually tangent equal circles make an equilateral triangle of centers

Solución:

Los centros de la moneda central y de dos monedas vecinas cualesquiera están separados entre sí por dos radios, de modo que forman un triángulo equilátero. Por lo tanto, dos centros exteriores consecutivos subtienden $60^\circ$ en el centro de la moneda central. Caben exactamente $\frac{360^\circ}{60^\circ}=6$ monedas a su alrededor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The centers of the middle nickel and any two neighboring nickels are pairwise two radii apart, so they form an equilateral triangle. Therefore consecutive outer centers subtend $60^\circ$ at the center of the middle nickel. Exactly $\frac{360^\circ}{60^\circ}=6$ nickels fit around it.

Thus, the correct answer is C.

6.

En un grupo de vacas y gallinas, el número de patas era $14$ mayor que el doble del número de cabezas. El número de vacas era:

In a group of cows and chickens, the number of legs was $14$ more than twice the number of heads. The number of cows was:

$5$

$7$

$10$

$12$

$14$

Respuesta: B

Conceptos:linear equations heads and legs invariante

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

El doble del número de cabezas ya cuenta dos patas por animal

Twice the number of heads already accounts for two legs per animal

Pista grande:

Cada vaca aporta dos patas adicionales por encima de esa base

Each cow contributes two additional legs beyond that baseline

Solución:

Contar dos patas por cada cabeza incluye las dos patas de cada gallina y dos de las cuatro patas de cada vaca. Así, cada vaca aporta exactamente dos de las $14$ patas adicionales. Por consiguiente, el número de vacas es $\frac{14}{2}=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Counting two legs for every head accounts for both legs of each chicken and two of each cow’s four legs. Thus every cow contributes exactly two of the $14$ extra legs. Hence the number of cows is $\frac{14}{2}=7.$

Thus, the correct answer is B.

7.

Las raíces de la ecuación $ax^2+bx+c=0$ serán recíprocas si:

The roots of the equation $ax^2+bx+c=0$ will be reciprocal if:

$a=b$

$a=bc$

$c=a$

$c=b$

$c=ab$

Respuesta: C

Conceptos:quadratic roots Vieta’s formulas reciprocal numbers

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Si las raíces son $r$ y $s,$ las raíces recíprocas satisfacen $rs=1$

If the roots are $r$ and $s,$ reciprocal roots satisfy $rs=1$

Pista grande:

Usa la fórmula de Vieta $rs=\frac{c}{a}$

Use Vieta’s formula $rs=\frac{c}{a}$

Solución:

Por las fórmulas de Vieta, el producto de las dos raíces es $\frac{c}{a}.$ Las raíces recíprocas tienen producto $1,$ así que $\frac ca=1,$ lo que exige $c=a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By Vieta’s formulas, the product of the two roots is $\frac{c}{a}.$ Reciprocal roots have product $1,$ so $\frac ca=1,$ which requires $c=a.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Si $8\cdot2^x=5^{y+8},$ entonces, cuando $y=-8,$ $x=$

If $8\cdot2^x=5^{y+8},$ then, when $y=-8,$ $x=$

$-4$

$-3$

$0$

$4$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:exponential equations powers sustitución

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Sustituye $y=-8$ en el exponente de $5$

Substitute $y=-8$ into the exponent on $5$

Pista grande:

Escribe $8$ como $2^3$

Write $8$ as $2^3$

Solución:

Cuando $y=-8,$ el lado derecho es $5^0=1.$ Por lo tanto, $8\cdot2^x=2^{x+3}=1=2^0,$ de modo que $x+3=0$ y $x=-3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

When $y=-8,$ the right side is $5^0=1.$ Therefore $8\cdot2^x=2^{x+3}=1=2^0,$ so $x+3=0$ and $x=-3.$

Thus, the correct answer is B.

9.

Simplifica $\left[\sqrt[3]{\sqrt[6]{a^9}}\right]^4\left[\sqrt[6]{\sqrt[3]{a^9}}\right]^4;$ el resultado es:

Simplify $\left[\sqrt[3]{\sqrt[6]{a^9}}\right]^4\left[\sqrt[6]{\sqrt[3]{a^9}}\right]^4;$ the result is:

$a^{16}$

$a^{12}$

$a^8$

$a^4$

$a^2$

Respuesta: D

Conceptos:rational exponents nested radicals exponent laws

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Sustituye cada raíz $n$ -ésima por un exponente de $\frac{1}{n}$

Replace each $n$ th root by an exponent of $\frac{1}{n}$

Pista grande:

Cada corchete tiene exponente $9\cdot\frac16\cdot\frac13\cdot4$

Each bracket has exponent $9\cdot\frac16\cdot\frac13\cdot4$

Solución:

En cada uno de los dos factores, las raíces anidadas y la cuarta potencia exterior multiplican el exponente de $a$ por $9\cdot\frac16\cdot\frac13\cdot4=2.$ Por tanto, cada factor es $a^2,$ y su producto es $a^2a^2=a^4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For each of the two factors, the nested roots and outer fourth power multiply the exponent of $a$ by $9\cdot\frac16\cdot\frac13\cdot4=2.$ Thus each factor is $a^2,$ and their product is $a^2a^2=a^4.$

Therefore, the correct answer is D.

10.

Un círculo de radio $10$ pulgadas tiene su centro en el vértice $C$ de un triángulo equilátero $ABC$ y pasa por los otros dos vértices. El lado $AC,$ prolongado a través de $C,$ corta el círculo en $D.$ El número de grados del ángulo $ADB$ es:

A circle of radius $10$ inches has its center at the vertex $C$ of an equilateral triangle $ABC$ and passes through the other two vertices. The side $AC$ extended through $C$ intersects the circle at $D.$ The number of degrees of angle $ADB$ is:

$15$

$30$

$60$

$90$

$120$

Respuesta: B

Conceptos:inscribed angles triángulo equilátero circle geometry

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Los radios $CA$ y $CB$ forman un ángulo central de $60^\circ$

The radii $CA$ and $CB$ form a $60^\circ$ central angle

Pista grande:

El ángulo $ADB$ es un ángulo inscrito que subtiende el arco menor $AB$

Angle $ADB$ is an inscribed angle intercepting the minor arc $AB$

Solución:

Como $ABC$ es equilátero, el ángulo central $\angle ACB$ mide $60^\circ.$ El ángulo inscrito $\angle ADB$ subtiende el mismo arco menor $AB,$ por lo que su medida es la mitad del ángulo central: $\angle ADB=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $ABC$ is equilateral, the central angle $\angle ACB$ is $60^\circ.$ The inscribed angle $\angle ADB$ intercepts the same minor arc $AB,$ so its measure is half the central angle: $\angle ADB=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$

Thus, the correct answer is B.

11.

La expresión $1-\dfrac1{1+\sqrt3}+\dfrac1{1-\sqrt3}$ es igual a:

The expression $1-\dfrac1{1+\sqrt3}+\dfrac1{1-\sqrt3}$ equals:

$1-\sqrt3$

$1$

$-\sqrt3$

$\sqrt3$

$1+\sqrt3$

Respuesta: A

Conceptos:rational expressions conjugates radicals

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Combina los dos términos fraccionarios sobre $(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)$

Combine the two fractional terms over $(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)$

Pista grande:

El producto de los denominadores conjugados es $1-3=-2$

The product of the conjugate denominators is $1-3=-2$

Solución:

Al combinar los términos fraccionarios, $\begin{gathered} -\frac1{1+\sqrt3}+\frac1{1-\sqrt3} \\ =\frac{(1+\sqrt3)-(1-\sqrt3)} {(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)}\\ =\frac{2\sqrt3}{-2}\\ =-\sqrt3. \end{gathered}$ Al sumar el $1$ inicial se obtiene $1-\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Combining the fractional terms, $\begin{gathered} -\frac1{1+\sqrt3}+\frac1{1-\sqrt3} \\ =\frac{(1+\sqrt3)-(1-\sqrt3)} {(1+\sqrt3)(1-\sqrt3)}\\ =\frac{2\sqrt3}{-2}\\ =-\sqrt3. \end{gathered}$ Adding the initial $1$ gives $1-\sqrt3.$

Thus, the correct answer is A.

12.

Si $x^{-1}-1$ se divide entre $x-1,$ el cociente es:

If $x^{-1}-1$ is divided by $x-1$ the quotient is:

$1$

$\dfrac1{x-1}$

$-\dfrac1{x-1}$

$\dfrac1x$

$-\dfrac1x$

Respuesta: E

Conceptos:negative exponents rational expressions factorización

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Reescribe $x^{-1}-1$ como $\frac{1}{x}-1$

Rewrite $x^{-1}-1$ as $\frac{1}{x}-1$

Pista grande:

Factoriza usando $1-x=-(x-1)$

Factor $1-x=-(x-1)$

Solución:

Donde el cociente está definido, $\begin{aligned} \frac{x^{-1}-1}{x-1} &=\frac{\frac{1-x}{x}}{x-1}\\ &=\frac{-(x-1)}{x(x-1)}\\ &=-\frac1x. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Where the quotient is defined, $\begin{aligned} \frac{x^{-1}-1}{x-1} &=\frac{\frac{1-x}{x}}{x-1}\\ &=\frac{-(x-1)}{x(x-1)}\\ &=-\frac1x. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

13.

Dados dos enteros positivos $x$ y $y,$ con $x\lt y.$ El porcentaje en que $x$ es menor que $y$ es:

Given two positive integers $x$ and $y$ with $x\lt y.$ The percent that $x$ is less than $y$ is:

$\dfrac{100(y-x)}x$

$\dfrac{100(x-y)}x$

$\dfrac{100(y-x)}y$

$100(y-x)$

$100(x-y)$

Respuesta: C

Conceptos:percent decrease reference quantity algebraic expression

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

La cantidad en que $x$ es menor es $y-x$

The amount by which $x$ is smaller is $y-x$

Pista grande:

Como la comparación se hace con $y,$ usa $y$ como denominador

Because the comparison is to $y,$ use $y$ as the denominator

Solución:

La diferencia es $y-x.$ Medida como fracción del valor de referencia $y,$ es $\frac{y-x}{y}.$ Multiplicar por $100$ convierte la fracción en un porcentaje: $\frac{100(y-x)}y.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The difference is $y-x.$ Measured as a fraction of the reference value $y,$ this is $\frac{y-x}{y}.$ Multiplying by $100$ converts the fraction to a percent: $\frac{100(y-x)}y.$

Thus, the correct answer is C.

14.

Los puntos $A,$ $B,$ y $C$ están sobre un círculo $O.$ La recta tangente en $A$ y la secante $BC$ se cortan en $P,$ con $B$ entre $C$ y $P.$ Si $BC=20$ y $PA=10\sqrt3,$ entonces $PB$ es igual a:

The points $A,$ $B,$ and $C$ are on a circle $O.$ The tangent line at $A$ and the secant $BC$ intersect at $P,$ $B$ lying between $C$ and $P.$ If $BC=20$ and $PA=10\sqrt3,$ then $PB$ equals:

$5$

$10$

$10\sqrt3$

$20$

$30$

Respuesta: B

Conceptos:potencia de un punto tangent-secant theorem quadratic equation

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Usa $PA^2=PB\cdot PC$

Use $PA^2=PB\cdot PC$

Pista grande:

Si $PB=t,$ entonces $PC=t+20$

If $PB=t,$ then $PC=t+20$

Solución:

Sea $PB=t.$ Como $B$ está entre $P$ y $C,$ tenemos $PC=t+20.$ El teorema de la tangente y la secante da $(10\sqrt3)^2=t(t+20).$ Por tanto, $t^2+20t-300=0,$ o bien $(t-10)(t+30)=0.$ Una longitud es positiva, así que $t=10.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $PB=t.$ Since $B$ lies between $P$ and $C,$ we have $PC=t+20.$ The tangent-secant theorem gives $(10\sqrt3)^2=t(t+20).$ Thus $t^2+20t-300=0,$ or $(t-10)(t+30)=0.$ A length is positive, so $t=10.$

Therefore, the correct answer is B.

15.

La raíz o las raíces de $\dfrac{15}{x^2-4}-\dfrac2{x-2}=1$ son:

The root(s) of $\dfrac{15}{x^2-4}-\dfrac2{x-2}=1$ is (are):

$-5$ y $3$

$-5$ and $3$

$\pm2$

solamente $2$

$2$ only

$-3$ y $5$

$-3$ and $5$

solamente $3$

$3$ only

Respuesta: A

Conceptos:ecuación racional factorización domain restrictions

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

La ecuación original exige $x\ne\pm2$

The original equation requires $x\ne\pm2$

Pista grande:

Multiplica toda la ecuación por $(x-2)(x+2)$ y reúne términos

Multiply through by $(x-2)(x+2)$ and collect terms

Solución:

Para $x\ne\pm2,$ multiplicar por $x^2-4$ da $15-2(x+2)=x^2-4.$ Por tanto, $x^2+2x-15=0,$ así que $(x+5)(x-3)=0.$ Tanto $x=-5$ como $x=3$ satisfacen la restricción del dominio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For $x\ne\pm2,$ multiplying by $x^2-4$ gives $15-2(x+2)=x^2-4.$ Hence $x^2+2x-15=0,$ so $(x+5)(x-3)=0.$ Both $x=-5$ and $x=3$ satisfy the domain restriction.

Thus, the correct answer is A.

16.

La suma de tres números es $98.$ La razón del primero al segundo es $\dfrac23,$ y la razón del segundo al tercero es $\dfrac58.$ El segundo número es:

The sum of three numbers is $98.$ The ratio of the first to the second is $\dfrac23,$ and the ratio of the second to the third is $\dfrac58.$ The second number is:

$15$

$20$

$30$

$32$

$33$

Respuesta: C

Conceptos:ratios proportional quantities ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Elige una escala común para que los tres números tengan razón $10:15:24$

Choose a common scaling so the three numbers have ratio $10:15:24$

Pista grande:

Esas partes de la razón suman $49$

Those ratio parts add to $49$

Solución:

La razón del primero al segundo $2:3$ y la del segundo al tercero $5:8$ se combinan para dar la razón entre los tres números $10:15:24.$ Las $49$ partes totales equivalen a $98,$ por lo que cada parte vale $2.$ El segundo número es $15\cdot2=30.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The first-to-second ratio $2:3$ and second-to-third ratio $5:8$ combine to give the three-number ratio $10:15:24.$ The $49$ total parts equal $98,$ so each part is $2.$ The second number is $15\cdot2=30.$

Thus, the correct answer is C.

17.

La fracción $\dfrac{5x-11}{2x^2+x-6}$ se obtuvo sumando las fracciones $\dfrac A{x+2}$ y $\dfrac B{2x-3}.$ Los valores de $A$ y $B$ deben ser, respectivamente:

The fraction $\dfrac{5x-11}{2x^2+x-6}$ was obtained by adding the two fractions $\dfrac A{x+2}$ and $\dfrac B{2x-3}.$ The values of $A$ and $B$ must be, respectively:

$5x,$ $-11$

$-11,$ $5x$

$-1,$ $3$

$3,$ $-1$

$5,$ $-11$

Respuesta: D

Conceptos:fracciones parciales polynomial identity linear system

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Factoriza $2x^2+x-6=(x+2)(2x-3)$

Factor $2x^2+x-6=(x+2)(2x-3)$

Pista grande:

Después de combinar las dos fracciones, iguala coeficientes en $A(2x-3)+B(x+2)=5x-11$

After combining the two fractions, match coefficients in $A(2x-3)+B(x+2)=5x-11$

Solución:

Al combinar las fracciones parciales propuestas se obtiene $\frac{A(2x-3)+B(x+2)}{(x+2)(2x-3)}.$ Al igualar su numerador con $5x-11$ resulta $\begin{aligned} 2A+B&=5,\\ -3A+2B&=-11. \end{aligned}$ Al resolver se obtiene $A=3$ y $B=-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Combining the proposed partial fractions gives $\frac{A(2x-3)+B(x+2)}{(x+2)(2x-3)}.$ Matching its numerator with $5x-11$ yields $\begin{aligned} 2A+B&=5,\\ -3A+2B&=-11. \end{aligned}$ Solving gives $A=3$ and $B=-1.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Si $10^{2y}=25,$ entonces $10^{-y}$ es igual a:

If $10^{2y}=25,$ then $10^{-y}$ equals:

$-\dfrac15$

$\dfrac1{625}$

$\dfrac1{50}$

$\dfrac1{25}$

$\dfrac15$

Respuesta: E

Conceptos:exponential equations positive square root reciprocal

Nivel de dificultad: 1210

Pista pequeña:

Escribe $10^{2y}$ como $(10^y)^2$

Write $10^{2y}$ as $(10^y)^2$

Pista grande:

La cantidad $10^y$ es positiva

The quantity $10^y$ is positive

Solución:

Tenemos $(10^y)^2=25.$ Como $10^y$ es positivo, $10^y=5.$ Al tomar el recíproco se obtiene $10^{-y}=\frac{1}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

We have $(10^y)^2=25.$ Since $10^y$ is positive, $10^y=5.$ Taking the reciprocal gives $10^{-y}=\frac{1}{5}.$

Thus, the correct answer is E.

19.

Se encienden al mismo tiempo dos velas de la misma altura. La primera se consume en $4$ horas y la segunda en $3$ horas. Suponiendo que cada vela arde a velocidad constante, ¿cuántas horas después de encenderlas tenía la primera el doble de altura que la segunda?

Two candles of the same height are lighted at the same time. The first is consumed in $4$ hours and the second in $3$ hours. Assuming that each candle burns at a constant rate, in how many hours after being lighted was the first candle twice the height of the second?

$\dfrac34$ h

$\dfrac34$ hr.

$1\dfrac12$ h

$1\dfrac12$ hr.

$2$ h

$2$ hr.

$2\dfrac25$ h

$2\dfrac25$ hr.

$2\dfrac12$ h

$2\dfrac12$ hr.

Respuesta: D

Conceptos:linear rates proportional height equation modeling

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Escala la altura inicial común a $1$

Scale the common initial height to $1$

Pista grande:

Después de $t$ horas, las fracciones restantes son $1-\frac{t}{4}$ y $1-\frac{t}{3}$

After $t$ hours the remaining fractions are $1-\frac{t}{4}$ and $1-\frac{t}{3}$

Solución:

Sea $1$ la altura inicial de cada vela. Después de $t$ horas, las alturas restantes son $1-\frac{t}{4}$ y $1-\frac{t}{3}.$ La condición requerida es $1-\frac t4=2\left(1-\frac t3\right).$ Al multiplicar por $12$ se obtiene $12-3t=24-8t,$ de modo que $5t=12$ y $t=\frac{12}{5}=2\dfrac25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let each initial height be $1.$ After $t$ hours the remaining heights are $1-\frac{t}{4}$ and $1-\frac{t}{3}.$ The required condition is $1-\frac t4=2\left(1-\frac t3\right).$ Multiplying by $12$ gives $12-3t=24-8t,$ so $5t=12$ and $t=\frac{12}{5}=2\dfrac25.$

Thus, the correct answer is D.

20.

Si $(0.2)^x=2$ y $\log 2=0.3010,$ entonces el valor de $x,$ redondeado a la décima más cercana, es:

If $(0.2)^x=2$ and $\log 2=0.3010,$ then the value of $x$ to the nearest tenth is:

$-10.0$

$-0.5$

$-0.4$

$-0.2$

$10.0$

Respuesta: C

Conceptos:logarithms exponential equation approximation

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Toma logaritmos comunes en ambos lados

Take common logarithms of both sides

Pista grande:

Usa $\log(0.2)=\log2-1=-0.6990$

Use $\log(0.2)=\log2-1=-0.6990$

Solución:

Al tomar logaritmos comunes se obtiene $x\log(0.2)=\log2.$ Como $\log(0.2)=\log2-1=-0.6990,$ $x=\frac{0.3010}{-0.6990}\approx-0.4306.$ Redondeado a la décima más cercana, es $-0.4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Taking common logarithms gives $x\log(0.2)=\log2.$ Since $\log(0.2)=\log2-1=-0.6990,$ $x=\frac{0.3010}{-0.6990}\approx-0.4306.$ To the nearest tenth, this is $-0.4.$

Thus, the correct answer is C.

21.

Si cada una de dos rectas que se cortan intersecta una hipérbola y ninguna es tangente a ella, entonces el número posible de puntos de intersección con la hipérbola es:

If each of two intersecting lines intersects a hyperbola and neither line is tangent to the hyperbola, then the possible number of points of intersection with the hyperbola is:

$2$

$2$ o $3$

$2$ or $3$

$2$ o $4$

$2$ or $4$

$3$ o $4$

$3$ or $4$

$2,$ $3,$ o $4$

$2,$ $3,$ or $4$

Respuesta: E

Conceptos:hipérbola line-conic intersections counting distinct points

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Una recta no tangente que intersecta una hipérbola puede cortarla en uno o dos puntos

A non-tangent line that intersects a hyperbola can meet it in either one or two points

Pista grande:

Las dos rectas pueden compartir un punto de la hipérbola, pues ellas mismas se cortan

The two lines may share one hyperbola point, since the lines themselves intersect

Solución:

Una recta puede cortar una hipérbola en un solo punto finito, cuando su dirección es paralela a una asíntota, o en dos puntos finitos. Si se eligen las dos rectas de modo que sus conjuntos de intersecciones finitas con la hipérbola sean disjuntos, pueden aportar $1+1=2,$ $1+2=3,$ o $2+2=4$ intersecciones distintas. Si el punto donde se cortan las dos rectas pertenece a la hipérbola, ese punto se cuenta una sola vez.

Por lo tanto, son posibles $2,$ $3,$ o $4,$ y la respuesta correcta es E.

A line can meet a hyperbola in either one finite point, when its direction is parallel to an asymptote, or two finite points. By choosing the two lines so that their finite intersection sets on the hyperbola are disjoint, they can therefore contribute $1+1=2,$ $1+2=3,$ or $2+2=4$ distinct intersections. If their own intersection lies on the hyperbola, one point is shared instead.

Thus, $2,$ $3,$ or $4$ are possible, and the correct answer is E.

22.

Jones recorrió $50$ millas en su primer viaje. En otro viaje recorrió $300$ millas a una velocidad tres veces mayor. Comparado con el tiempo anterior, el nuevo tiempo fue:

Jones covered a distance of $50$ miles on his first trip. On a later trip he traveled $300$ miles while going three times as fast. His new time compared with the old time was:

tres veces mayor

three times as much

el doble

twice as much

el mismo

the same

la mitad

half as much

un tercio

a third as much

Respuesta: B

Conceptos:rate-time-distance proportional reasoning

Nivel de dificultad: 1150

Pista pequeña:

Escribe cada tiempo de viaje como distancia dividida entre velocidad

Write each travel time as distance divided by speed

Pista grande:

Si la velocidad anterior es $v,$ compara $\frac{50}{v}$ con $\frac{300}{3v}$

If the old speed is $v,$ compare $\frac{50}{v}$ with $\frac{300}{3v}$

Solución:

Si la primera velocidad fue $v,$ el tiempo anterior fue $\frac{50}{v}.$ El tiempo posterior fue $\frac{300}{3v}=\frac{100}{v}=2\left(\frac{50}{v}\right).$ Por tanto, el nuevo tiempo fue el doble del anterior.

La respuesta correcta es B.

If the first speed was $v,$ the old time was $\frac{50}{v}.$ The later time was $\frac{300}{3v}=\frac{100}{v}=2\left(\frac{50}{v}\right).$ Thus the new time was twice the old time.

The correct answer is B.

23.

De la ecuación $ax^2-2x\sqrt2+c=0,$ donde $a$ y $c$ son constantes reales, se nos dice que el discriminante es cero. Las raíces son necesariamente:

About the equation $ax^2-2x\sqrt2+c=0,$ with $a$ and $c$ real constants, we are told that the discriminant is zero. The roots are necessarily:

iguales y enteras

equal and integral

iguales y racionales

equal and rational

iguales y reales

equal and real

iguales e irracionales

equal and irrational

iguales e imaginarias

equal and imaginary

Respuesta: C

Conceptos:quadratic discriminant repeated root real coefficients

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Un discriminante cero hace coincidir los dos valores de la fórmula cuadrática

A zero discriminant makes the two quadratic-formula values coincide

Pista grande:

La raíz doble es $-\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt2}{a}$

The repeated root is $-\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt2}{a}$

Solución:

Una cuadrática con coeficientes reales y discriminante cero tiene la raíz doble $x=\frac{-(-2\sqrt2)}{2a}=\frac{\sqrt2}{a}.$ Como $a$ es un número real no nulo, esta raíz es real. No tiene que ser siempre racional ni siempre irracional.

Por lo tanto, las raíces son necesariamente iguales y reales, así que la respuesta correcta es C.

A quadratic with real coefficients and discriminant zero has the repeated root $x=\frac{-(-2\sqrt2)}{2a}=\frac{\sqrt2}{a}.$ Since $a$ is a nonzero real number, this root is real. It need not always be rational or always be irrational.

Thus, the roots are necessarily equal and real, so the correct answer is C.

24.

En la figura, $AB=AC,$ el ángulo $BAD=30^\circ,$ y $AE=AD.$ Entonces el ángulo $CDE$ es igual a:

In the figure $AB=AC,$ angle $BAD=30^\circ,$ and $AE=AD.$ Then angle $CDE$ equals:

$7\dfrac12^\circ$

$10^\circ$

$12\dfrac12^\circ$

$15^\circ$

$20^\circ$

Respuesta: D

Conceptos:isosceles triangles persecución de ángulos supplementary angles

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Sea $\angle DAE=\alpha$ y expresa el ángulo de la base en $C$ usando el triángulo isósceles $ABC$

Let $\angle DAE=\alpha$ and express the base angle at $C$ using isosceles triangle $ABC$

Pista grande:

Usa $AE=AD$ para expresar $\angle ADE,$ y después divide el ángulo llano en $D$

Use $AE=AD$ to express $\angle ADE,$ then split the straight angle at $D$

Solución:

Sea $\angle DAE=\alpha.$ Como $AB=AC$ y $AE=AD,$ $\begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2. \end{aligned}$ El triángulo $ACD$ da $\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB,$ así que $\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2.$ Como $\angle ADC=\angle ADE+x,$ $\begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $\angle DAE=\alpha.$ Since $AB=AC$ and $AE=AD,$ $\begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2. \end{aligned}$ Triangle $ACD$ gives $\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB,$ so $\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2.$ Since $\angle ADC=\angle ADE+x,$ $\begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

25.

La suma de todos los números de la forma $2k+1,$ donde $k$ toma valores enteros de $1$ a $n,$ es:

The sum of all numbers of the form $2k+1,$ where $k$ takes on integral values from $1$ to $n$ is:

$n^2$

$n(n+1)$

$n(n+2)$

$(n+1)^2$

$(n+1)(n+2)$

Respuesta: C

Conceptos:arithmetic series sumatoria algebraic simplification

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Separa $\sum_{k=1}^n(2k+1)$ en dos sumas

Separate $\sum_{k=1}^n(2k+1)$ into two sums

Pista grande:

Usa $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Use $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Solución:

Calculamos $\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2k+1) &=2\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n1\\ &=n(n+1)+n\\ &=n(n+2). \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

We compute $\begin{aligned} \sum_{k=1}^n(2k+1) &=2\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n1\\ &=n(n+1)+n\\ &=n(n+2). \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

26.

¿Cuál de las siguientes combinaciones de datos no determina el triángulo indicado?

Which one of the following combinations of given parts does not determine the indicated triangle?

ángulo de la base y ángulo del vértice; triángulo isósceles

base angle and vertex angle; isosceles triangle

ángulo del vértice y base; triángulo isósceles

vertex angle and the base; isosceles triangle

radio del círculo circunscrito; triángulo equilátero

the radius of the circumscribed circle; equilateral triangle

un cateto y el radio del círculo inscrito; triángulo rectángulo

one arm and the radius of the inscribed circle; right triangle

dos ángulos y un lado opuesto a uno de ellos; triángulo escaleno

two angles and a side opposite one of them; scalene triangle

Respuesta: A

Conceptos:triangle determination semejanza congruence data

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pregunta si cada conjunto de datos fija tanto el tamaño como la forma

Ask whether each set of information fixes scale as well as shape

Pista grande:

Dos ángulos solamente determinan una clase de semejanza si no se proporciona alguna longitud

Two angles determine only a similarity class unless some length is also supplied

Solución:

En un triángulo isósceles, un ángulo de la base y el ángulo del vértice determinan los tres ángulos, pero no se especifica ninguna longitud de lado. Por tanto, triángulos de cualquier tamaño tienen los mismos datos, así que el triángulo no queda determinado. Cada otra opción incluye suficiente información de longitud, directamente o mediante un radio, para fijar tanto el tamaño como la forma.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

In an isosceles triangle, a base angle and the vertex angle determine all three angles, but no side length is specified. Therefore triangles of every scale have the same given data, so the triangle is not determined. Each other choice includes enough length information, directly or through a radius, to fix the scale as well as the shape.

Thus, the correct answer is A.

27.

Si un ángulo de un triángulo permanece igual, pero cada uno de los dos lados que lo forman se duplica, entonces el área se multiplica por:

If an angle of a triangle remains unchanged but each of its two including sides is doubled, then the area is multiplied by:

$2$

$3$

$4$

$6$

más de $6$

more than $6$

Respuesta: C

Conceptos:área del triángulo included angle scaling

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Usa la fórmula del área $\frac12ab\sin C$ para dos lados y el ángulo comprendido

Use the area formula $\frac12ab\sin C$ for two sides and their included angle

Pista grande:

Duplicar ambos factores laterales multiplica su producto por $2\cdot2$

Doubling both side factors multiplies their product by $2\cdot2$

Solución:

Si los lados comprendidos son $a$ y $b,$ y su ángulo invariable es $C,$ el área original es $\frac12ab\sin C.$ Después de duplicar ambos lados, el área es $\begin{gathered} \frac12(2a)(2b)\sin C \\ =2ab\sin C\\ =4\left(\frac12ab\sin C\right). \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

If the included sides are $a$ and $b,$ and their unchanged angle is $C,$ the original area is $\frac12ab\sin C.$ After both sides are doubled, the area is $\begin{gathered} \frac12(2a)(2b)\sin C \\ =2ab\sin C\\ =4\left(\frac12ab\sin C\right). \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

28.

El Sr. J dejó toda su herencia a su esposa, su hija, su hijo y la cocinera. Su hija y su hijo recibieron la mitad de la herencia, repartida en la razón de $4$ a $3.$ Su esposa recibió el doble que el hijo. Si la cocinera recibió un legado de $\$500,$ entonces la herencia completa era:

Mr. J left his entire estate to his wife, his daughter, his son, and the cook. His daughter and son got half the estate, sharing in the ratio of $4$ to $3.$ His wife got twice as much as the son. If the cook received a bequest of $\$500,$ then the entire estate was:

$\$3500$

$\$5500$

$\$6500$

$\$7000$

$\$7500$

Respuesta: D

Conceptos:ratios estate distribution ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Sean $4x$ y $3x$ las partes de la hija y del hijo

Let the daughter’s and son’s shares be $4x$ and $3x$

Pista grande:

Sus $7x$ son la mitad de la herencia, mientras que la otra mitad es los $6x$ de la esposa más $\$500$

Their $7x$ is half the estate, while the other half is the wife’s $6x$ plus $\$500$

Solución:

Sea $4x$ lo que recibe la hija y $3x$ lo que recibe el hijo. Juntos reciben $7x,$ que es la mitad de la herencia. La esposa recibe $6x,$ así que la otra mitad da $7x=6x+500.$ Por tanto, $x=500,$ y la herencia completa es $2(7x)=14(500)=7000$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the daughter receive $4x$ and the son $3x.$ Together they receive $7x,$ which is half the estate. The wife receives $6x,$ so the other half gives $7x=6x+500.$ Thus $x=500,$ and the whole estate is $2(7x)=14(500)=7000$ dollars.

Therefore, the correct answer is D.

29.

Los puntos de intersección de $xy=12$ y $x^2+y^2=25$ se unen sucesivamente. La figura resultante es:

The points of intersection of $xy=12$ and $x^2+y^2=25$ are joined in succession. The resulting figure is:

una recta

a straight line

un triángulo equilátero

an equilateral triangle

un paralelogramo

a parallelogram

un rectángulo

a rectangle

un cuadrado

a square

Respuesta: D

Conceptos:systems of equations geometría analítica quadrilaterals

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Usa $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ para hallar las posibles sumas $x+y$

Use $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy$ to find the possible sums $x+y$

Pista grande:

Los cuatro puntos de intersección son permutaciones y opuestos de $(3,4)$

The four intersection points are permutations and negatives of $(3,4)$

Solución:

En un punto de intersección, $\begin{aligned} (x+y)^2&=x^2+y^2+2xy\\ &=25+24=49, \end{aligned}$ de modo que $x+y=\pm7.$ Junto con $xy=12,$ esto da los cuatro puntos $\begin{aligned} &(3,4),\ (4,3),\\ &(-3,-4),\ (-4,-3). \end{aligned}$ En su orden cíclico alrededor del círculo, los vectores de lados adyacentes son perpendiculares, por lo que el cuadrilátero es un rectángulo. Sus lados adyacentes tienen longitudes desiguales, así que no es un cuadrado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

At an intersection, $\begin{aligned} (x+y)^2&=x^2+y^2+2xy\\ &=25+24=49, \end{aligned}$ so $x+y=\pm7.$ Together with $xy=12,$ this gives the four points $\begin{aligned} &(3,4),\ (4,3),\\ &(-3,-4),\ (-4,-3). \end{aligned}$ In their cyclic order around the circle, adjacent side vectors are perpendicular, so the quadrilateral is a rectangle. Its adjacent side lengths are unequal, so it is not a square.

Thus, the correct answer is D.

30.

Si la altura de un triángulo equilátero es $\sqrt6,$ entonces el área es:

If the altitude of an equilateral triangle is $\sqrt6,$ then the area is:

$2\sqrt2$

$2\sqrt3$

$3\sqrt3$

$6\sqrt2$

$12$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero altura área

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Para un lado de longitud $s,$ un triángulo equilátero tiene altura $\frac{s\sqrt3}{2}$

For side length $s,$ an equilateral triangle has altitude $\frac{s\sqrt3}{2}$

Pista grande:

Una vez conocido $s,$ usa el área $\frac{sh}{2}$

Once $s$ is known, use area $\frac{sh}{2}$

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado. De $\frac{s\sqrt3}{2}=\sqrt6,$ obtenemos $s=2\sqrt2.$ Por tanto, el área es $\frac12s\sqrt6 =\frac12(2\sqrt2)(\sqrt6)=2\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let the side length be $s.$ From $\frac{s\sqrt3}{2}=\sqrt6,$ we get $s=2\sqrt2.$ Hence the area is $\frac12s\sqrt6 =\frac12(2\sqrt2)(\sqrt6)=2\sqrt3.$

Thus, the correct answer is B.

31.

En nuestro sistema de numeración la base es diez. Si se cambiara la base a cuatro, se contaría así: $1,$ $2,$ $3,$ $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ $20,$ $21,$ $22,$ $23,$ $30,$ $\ldots$ El vigésimo número sería:

In our number system the base is ten. If the base were changed to four you would count as follows: $1,$ $2,$ $3,$ $10,$ $11,$ $12,$ $13,$ $20,$ $21,$ $22,$ $23,$ $30,$ $\ldots$ The twentieth number would be:

$20$

$38$

$44$

$104$

$110$

Respuesta: E

Conceptos:base four valor posicional number representation

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

El vigésimo entero positivo representa el valor ordinario $20$

The twentieth positive number represents the ordinary value $20$

Pista grande:

Divide $20$ sucesivamente entre $4,$ o exprésalo usando los valores posicionales $16,$ $4,$ y $1$

Divide $20$ successively by $4,$ or express it using the place values $16,$ $4,$ and $1$

Solución:

El vigésimo entero positivo tiene valor ordinario $20.$ Como $20=1\cdot4^2+1\cdot4+0,$ su representación en base cuatro es $110.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The twentieth positive integer has ordinary value $20.$ Since $20=1\cdot4^2+1\cdot4+0,$ its base-four representation is $110.$

Thus, the correct answer is E.

32.

George y Henry comenzaron una carrera desde extremos opuestos de la piscina. Después de un minuto y medio, se cruzaron en el centro. Si no perdieron tiempo al dar la vuelta y mantuvieron sus respectivas velocidades, ¿cuántos minutos después de comenzar se cruzaron por segunda vez?

George and Henry started a race from opposite ends of the pool. After a minute and a half, they passed each other in the center of the pool. If they lost no time in turning and maintained their respective speeds, how many minutes after starting did they pass each other the second time?

$3$

$4\dfrac12$

$6$

$7\dfrac12$

$9$

Respuesta: B

Conceptos:constant speed reflected motion periodic motion

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Que se encuentren en el centro significa que los dos nadadores tienen la misma velocidad

Meeting at the center means the two swimmers have equal speeds

Pista grande:

Llegan a los extremos opuestos a los $3$ minutos, dan la vuelta y cada uno necesita recorrer otra media piscina

They reach the opposite ends at $3$ minutes, turn, and need another half-pool each

Solución:

Como partieron simultáneamente de extremos opuestos y se encontraron primero en el centro, sus velocidades son iguales. Cada uno llega al extremo opuesto después de $3$ minutos. Dan la vuelta de inmediato y cada uno necesita entonces otros $1.5$ minutos para regresar al centro, donde vuelven a encontrarse. El segundo encuentro ocurre después de $3+1.5=4.5=4\frac12$ minutos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because they started simultaneously from opposite ends and first met at the center, their speeds are equal. Each reaches the opposite end after $3$ minutes. They turn immediately, and each then needs another $1.5$ minutes to return to the center, where they meet again. The second meeting occurs after $3+1.5=4.5=4\frac12$ minutes.

Thus, the correct answer is B.

33.

El número $\sqrt2$ es igual a:

The number $\sqrt2$ is equal to:

una fracción racional

a rational fraction

un decimal finito

a finite decimal

$1.41421$

un decimal periódico infinito

an infinite repeating decimal

un decimal infinito no periódico

an infinite non-repeating decimal

Respuesta: E

Conceptos:irrational numbers decimal expansions square roots

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Recuerda qué clase de desarrollo decimal tiene todo número racional

Recall what kind of decimal expansion every rational number has

Pista grande:

El número $\sqrt2$ es irracional, por lo que su desarrollo decimal no termina ni se repite

The number $\sqrt2$ is irrational, so its decimal neither terminates nor repeats

Solución:

El número $\sqrt2$ es irracional. El desarrollo decimal de un número racional termina o acaba repitiéndose, mientras que el de un número irracional es infinito y no periódico. El decimal finito $1.41421$ es solo una aproximación.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The number $\sqrt2$ is irrational. A rational number has a decimal expansion that either terminates or eventually repeats, whereas an irrational number has an infinite non-repeating decimal expansion. The finite decimal $1.41421$ is only an approximation.

Thus, the correct answer is E.

34.

Si $n$ es cualquier entero no negativo, $n^2(n^2-1)$ siempre es divisible entre:

If $n$ is any whole number, $n^2(n^2-1)$ is always divisible by:

$12$

$24$

cualquier múltiplo de $12$

any multiple of $12$

$12-n$

$12$ y $24$

$12$ and $24$

Respuesta: A

Conceptos:divisibilidad consecutive integers paridad

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Factoriza la expresión como $n^2(n-1)(n+1)$

Factor the expression as $n^2(n-1)(n+1)$

Pista grande:

Entre tres enteros consecutivos hay un múltiplo de $3,$ y los factores aportan al menos dos factores $2$

Among three consecutive integers there is a multiple of $3,$ and the factors supply at least two powers of $2$

Solución:

Tenemos $n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).$ Entre $n-1,$ $n,$ y $n+1,$ uno es divisible entre $3.$ Si $n$ es par, $n^2$ es divisible entre $4;$ si $n$ es impar, tanto $n-1$ como $n+1$ son pares, por lo que su producto es divisible entre $4.$ Así, la expresión siempre es divisible entre $12.$ No siempre es divisible entre $24,$ pues $n=2$ da $12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

We have $n^2(n^2-1)=n^2(n-1)(n+1).$ Among $n-1,$ $n,$ and $n+1,$ one is divisible by $3.$ If $n$ is even, $n^2$ is divisible by $4;$ if $n$ is odd, both $n-1$ and $n+1$ are even, so their product is divisible by $4.$ Thus the expression is always divisible by $12.$ It is not always divisible by $24,$ since $n=2$ gives $12.$

Therefore, the correct answer is A.

35.

Un rombo está formado por dos radios y dos cuerdas de un círculo cuyo radio mide $16$ pies. El área del rombo en pies cuadrados es:

A rhombus is formed by two radii and two chords of a circle whose radius is $16$ feet. The area of the rhombus in square feet is:

$128$

$128\sqrt3$

$256$

$512$

$512\sqrt3$

Respuesta: B

Conceptos:rombo chord length central angle área

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Cada lado del rombo mide $16,$ así que cada cuerda es igual al radio

Every side of the rhombus has length $16,$ so each chord equals the radius

Pista grande:

Una cuerda igual al radio subtiende un ángulo central de $60^\circ;$ usa $s^2\sin\theta$

A chord equal to the radius subtends a $60^\circ$ central angle; use $s^2\sin\theta$

Solución:

Los cuatro lados del rombo son iguales al radio del círculo, $16.$ Una cuerda cuya longitud es igual al radio forma un triángulo equilátero con los dos radios que llegan a sus extremos, de modo que el ángulo central comprendido es $60^\circ.$ Por lo tanto, el área del rombo es $\begin{aligned} 16^2\sin60^\circ &=256\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=128\sqrt3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

All four sides of the rhombus equal the circle’s radius, $16.$ A chord of length equal to the radius forms an equilateral triangle with the two radii to its endpoints, so the included central angle is $60^\circ.$ Therefore the rhombus has area $\begin{aligned} 16^2\sin60^\circ &=256\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=128\sqrt3. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

36.

Si la suma $1+2+3+\cdots+K$ es un cuadrado perfecto $N^2$ y $N$ es menor que $100,$ entonces los valores posibles de $K$ son:

If the sum $1+2+3+\cdots+K$ is a perfect square $N^2$ and if $N$ is less than $100,$ then the possible values for $K$ are:

solo $1$

only $1$

$1$ y $8$

$1$ and $8$

solo $8$

only $8$

$8$ y $49$

$8$ and $49$

$1,$ $8,$ y $49$

$1,$ $8,$ and $49$

Respuesta: E

Conceptos:triangular square numbers Pell equation recurrence

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Reescribe $\frac{K(K+1)}{2}=N^2$ como $(2K+1)^2-8N^2=1$

Rewrite $\frac{K(K+1)}{2}=N^2$ as $(2K+1)^2-8N^2=1$

Pista grande:

Genera soluciones positivas sucesivas multiplicando $(2K+1)+N\sqrt8$ por $3+\sqrt8,$ y detente cuando $N\ge100$

Generate successive positive solutions by multiplying $(2K+1)+N\sqrt8$ by $3+\sqrt8,$ stopping when $N\ge100$

Solución:

La condición es $\frac{K(K+1)}2=N^2,$ o bien $(2K+1)^2-8N^2=1.$ Las soluciones positivas de esta ecuación de Pell se generan a partir de la solución fundamental $3+\sqrt8.$ Sus primeros pares $(2K+1,N)$ son $\begin{aligned} &(3,1),\ (17,6),\\ &(99,35),\ (577,204),\ldots \end{aligned}$ Por tanto, los valores con $N\lt100$ son $K=1,8,49.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The condition is $\frac{K(K+1)}2=N^2,$ or $(2K+1)^2-8N^2=1.$ The positive solutions of this Pell equation are generated from the fundamental solution $3+\sqrt8.$ Their first pairs $(2K+1,N)$ are $\begin{aligned} &(3,1),\ (17,6),\\ &(99,35),\ (577,204),\ldots \end{aligned}$ Thus the values with $N\lt100$ are $K=1,8,49.$

Therefore, the correct answer is E.

37.

En un mapa cuya escala es de $400$ millas por pulgada y media, cierta propiedad está representada por un rombo con un ángulo de $60^\circ.$ La diagonal opuesta al ángulo de $60^\circ$ mide $\dfrac3{16}$ pulgadas. El área de la propiedad en millas cuadradas es:

On a map whose scale is $400$ miles to an inch and a half, a certain estate is represented by a rhombus having a $60^\circ$ angle. The diagonal opposite $60^\circ$ is $\dfrac3{16}$ in. The area of the estate in square miles is:

$\dfrac{2500}{\sqrt3}$

$\dfrac{1250}{\sqrt3}$

$1250$

$\dfrac{5625\sqrt3}{2}$

$1250\sqrt3$

Respuesta: E

Conceptos:map scale rombo equilateral triangles área

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

En un rombo con un ángulo de $60^\circ,$ la diagonal más corta es igual al lado

In a $60^\circ$ rhombus, the shorter diagonal equals the side length

Pista grande:

La escala es de $\frac{800}{3}$ millas por pulgada; convierte primero el lado de $\frac{3}{16}$ de pulgada antes de hallar el área

The scale is $\frac{800}{3}$ miles per inch, so convert the $\frac{3}{16}$ -inch side before finding area

Solución:

La diagonal opuesta al ángulo de $60^\circ$ divide el rombo en dos triángulos equiláteros, de modo que su longitud es igual al lado del rombo. La escala del mapa es de $\frac{800}{3}$ millas por pulgada, por lo que la longitud real del lado es $\frac3{16}\cdot\frac{800}{3}=50$ millas. Por lo tanto, el área del rombo es $\begin{aligned} 50^2\sin60^\circ &=2500\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=1250\sqrt3. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The diagonal opposite the $60^\circ$ angle divides the rhombus into two equilateral triangles, so its length equals the rhombus side. The map scale is $\frac{800}{3}$ miles per inch, hence the actual side length is $\frac3{16}\cdot\frac{800}{3}=50$ miles. Therefore the rhombus area is $\begin{aligned} 50^2\sin60^\circ &=2500\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\ &=1250\sqrt3. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

38.

En un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b,$ e hipotenusa $c,$ la altura trazada sobre la hipotenusa es $x.$ Entonces:

In a right triangle with sides $a$ and $b,$ and hypotenuse $c,$ the altitude drawn on the hypotenuse is $x.$ Then:

$ab=x^2$

$\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac1x$

$a^2+b^2=2x^2$

$\dfrac1{x^2}=\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}$

$\dfrac1x=\dfrac ba$

Respuesta: D

Conceptos:triángulo rectángulo altitude to hypotenuse área reciprocal identity

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Calcula el área del triángulo usando los catetos o usando la hipotenusa y su altura

Compute the triangle’s area using either the legs or the hypotenuse and its altitude

Pista grande:

A partir de $ab=cx,$ sustituye $c^2=a^2+b^2$ y divide entre $a^2b^2x^2$

From $ab=cx,$ substitute $c^2=a^2+b^2$ and divide by $a^2b^2x^2$

Solución:

Al igualar las dos fórmulas del área se obtiene $\frac12ab=\frac12cx,$ así que $ab=cx.$ Al elevar al cuadrado y usar $c^2=a^2+b^2,$ resulta $a^2b^2=x^2(a^2+b^2).$ Al dividir entre $a^2b^2x^2,$ se obtiene $\frac1{x^2}=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Equating two area formulas gives $\frac12ab=\frac12cx,$ so $ab=cx.$ Squaring and using $c^2=a^2+b^2$ yields $a^2b^2=x^2(a^2+b^2).$ Dividing by $a^2b^2x^2$ gives $\frac1{x^2}=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}.$

Thus, the correct answer is D.

39.

La hipotenusa $c$ y un cateto $a$ de un triángulo rectángulo son enteros consecutivos. El cuadrado del otro cateto es:

The hypotenuse $c$ and one arm $a$ of a right triangle are consecutive integers. The square of the second arm is:

$ca$

$\dfrac ca$

$c+a$

$c-a$

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:Pythagorean theorem diferencia de cuadrados consecutive integers

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Si el otro cateto es $b,$ entonces $b^2=c^2-a^2$

If the second arm is $b,$ then $b^2=c^2-a^2$

Pista grande:

Factoriza la diferencia de cuadrados y usa $c-a=1$

Factor the difference of squares and use $c-a=1$

Solución:

Por el teorema de Pitágoras, $b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a).$ Como $c$ y $a$ son consecutivos y $c\gt a,$ tenemos $c-a=1.$ Por consiguiente, $b^2=c+a.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

By the Pythagorean theorem, $b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a).$ Since $c$ and $a$ are consecutive and $c\gt a,$ we have $c-a=1.$ Hence $b^2=c+a.$

Thus, the correct answer is C.

40.

Si $V=gt+V_0$ y $S=\dfrac12gt^2+V_0t,$ entonces $t$ es igual a:

If $V=gt+V_0$ and $S=\dfrac12gt^2+V_0t,$ then $t$ equals:

$\dfrac{2S}{V+V_0}$

$\dfrac{2S}{V-V_0}$

$\dfrac{2S}{V_0-V}$

$\dfrac{2S}{V}$

$2S-V$

Respuesta: A

Conceptos:kinematics formulas algebraic elimination average velocity

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Usa la primera ecuación para sustituir $gt$ en la segunda

Use the first equation to replace $gt$ in the second

Pista grande:

Saca $t$ como factor común después de escribir $gt=V-V_0$

Factor $t$ after writing $gt=V-V_0$

Solución:

De la primera ecuación, $gt=V-V_0.$ Por lo tanto, $\begin{aligned} S&=\frac12(gt)t+V_0t\\ &=\frac12(V-V_0)t+V_0t\\ &=\frac12(V+V_0)t. \end{aligned}$ Al despejar se obtiene $t=\frac{2S}{V+V_0}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From the first equation, $gt=V-V_0.$ Therefore $\begin{aligned} S&=\frac12(gt)t+V_0t\\ &=\frac12(V-V_0)t+V_0t\\ &=\frac12(V+V_0)t. \end{aligned}$ Solving gives $t=\frac{2S}{V+V_0}.$

Thus, the correct answer is A.

41.

La ecuación $3y^2+y+4=2(6x^2+y+2),$ donde $y=2x,$ es satisfecha por:

The equation $3y^2+y+4=2(6x^2+y+2)$ where $y=2x$ is satisfied by:

ningún valor de $x$

no value of $x$

todos los valores de $x$

all values of $x$

solo $x=0$

$x=0$ only

todos y solo los valores enteros de $x$

all integral values of $x$ only

todos y solo los valores racionales de $x$

all rational values of $x$ only

Respuesta: C

Conceptos:sustitución quadratic cancellation ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Sustituye $y=2x$ en ambos lados antes de desarrollar

Substitute $y=2x$ on both sides before expanding

Pista grande:

Los términos $12x^2$ y los términos constantes se cancelan

The $12x^2$ and constant terms cancel

Solución:

Al sustituir $y=2x$ se obtiene $12x^2+2x+4=12x^2+4x+4.$ Al cancelar los términos cuadráticos y constantes comunes queda $2x=4x,$ así que $x=0.$ Este valor satisface ambas ecuaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Substituting $y=2x$ gives $12x^2+2x+4=12x^2+4x+4.$ Cancelling the common quadratic and constant terms leaves $2x=4x,$ so $x=0.$ This value satisfies both equations.

Thus, the correct answer is C.

42.

La ecuación $\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1=0$ tiene:

The equation $\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1=0$ has:

ninguna raíz

no root

una raíz real

one real root

una raíz real y una raíz imaginaria

one real root and one imaginary root

dos raíces imaginarias

two imaginary roots

dos raíces reales

two real roots

Respuesta: A

Conceptos:radical equation inequalities real domain

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Para que las raíces cuadradas sean reales, el dominio exige $x\ge3$

For real square roots the domain requires $x\ge3$

Pista grande:

En ese dominio, compara directamente $\sqrt{x+4}$ con $\sqrt{x-3}$

On that domain, compare $\sqrt{x+4}$ directly with $\sqrt{x-3}$

Solución:

Para que haya una solución real, $x\ge3.$ Entonces $x+4>x-3,$ por lo que $\sqrt{x+4}>\sqrt{x-3}.$ En consecuencia, $\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1>1,$ y no puede ser igual a cero. La ecuación original es una expresión radical real, por lo que las raíces no reales están fuera de su dominio.

La respuesta correcta es A.

For a real solution, $x\ge3.$ Then $x+4>x-3,$ so $\sqrt{x+4}>\sqrt{x-3}.$ Consequently $\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1>1,$ and it cannot equal zero. The original equation is a real radical expression, so nonreal roots are outside its domain.

The correct answer is A.

43.

El número de triángulos escalenos cuyos lados tienen longitudes enteras y cuyo perímetro es menor que $13$ es:

The number of scalene triangles having all sides of integral lengths, and perimeter less than $13$ is:

$1$

$2$

$3$

$4$

$18$

Respuesta: C

Conceptos:integer triangles desigualdad triangular enumeration

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

Ordena los lados enteros distintos como $a\lt b\lt c$ y usa $a+b\gt c$

Order the distinct integer sides as $a\lt b\lt c$ and use $a+b\gt c$

Pista grande:

Enumera las posibilidades según el lado mayor; la cota del perímetro solo permite valores pequeños de $c$

List possibilities by the largest side; the perimeter bound leaves only small values of $c$

Solución:

Escribimos los lados enteros distintos en orden creciente. Al revisar las posibilidades pequeñas que cumplen la desigualdad triangular y la cota del perímetro, se obtiene $\begin{aligned} &(2,3,4),\ (2,4,5),\\ &(3,4,5). \end{aligned}$ Para $c\ge6,$ el menor candidato escaleno nuevo que satisface $a+b\gt c$ es $(3,4,6),$ cuyo perímetro ya es $13,$ y ninguna opción mayor puede servir. Por tanto, hay $3$ triángulos.

La respuesta correcta es C.

Write the distinct integer sides in increasing order. Checking the small possibilities under the triangle inequality and perimeter bound gives $\begin{aligned} &(2,3,4),\ (2,4,5),\\ &(3,4,5). \end{aligned}$ For $c\ge6,$ the smallest new scalene candidate satisfying $a+b\gt c$ is $(3,4,6),$ whose perimeter is already $13,$ and larger choices cannot qualify. Thus there are $3$ triangles.

The correct answer is C.

44.

Si $x\lt a\lt0$ significa que $x$ y $a$ son números tales que $x$ es menor que $a$ y $a$ es menor que cero, entonces:

If $x\lt a\lt0$ means that $x$ and $a$ are numbers such that $x$ is less than $a$ and $a$ is less than zero, then:

$x^2\lt ax\lt0$

$x^2\gt ax\gt a^2$

$x^2\lt a^2\lt0$

$x^2\gt ax,$ pero $ax\lt0$

$x^2\gt ax$ but $ax\lt0$

$x^2\gt a^2,$ pero $a^2\lt0$

$x^2\gt a^2$ but $a^2\lt0$

Respuesta: B

Conceptos:inequalities negative numbers multiplication

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Ambos números son negativos, pero $x$ tiene mayor valor absoluto

Both numbers are negative, but $x$ has the larger absolute value

Pista grande:

Multiplica $x\lt a$ una vez por $x\lt0$ y otra por $a\lt0,$ invirtiendo cada desigualdad

Multiply $x\lt a$ once by $x\lt0$ and once by $a\lt0,$ reversing each inequality

Solución:

Como $x\lt a\lt0,$ al multiplicar $x\lt a$ por el número negativo $x$ se invierte la desigualdad y se obtiene $x^2\gt ax.$ Al multiplicar la misma desigualdad por el número negativo $a,$ se obtiene $ax\gt a^2.$ Por lo tanto, $x^2\gt ax\gt a^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $x\lt a\lt0,$ multiplying $x\lt a$ by the negative number $x$ reverses the inequality and gives $x^2\gt ax.$ Multiplying the same inequality by the negative number $a$ gives $ax\gt a^2.$ Therefore $x^2\gt ax\gt a^2.$

Thus, the correct answer is B.

45.

Una rueda con neumático de caucho tiene un diámetro exterior de $25$ pulgadas. Cuando el radio se reduce un cuarto de pulgada, el número de vueltas en una milla:

A wheel with a rubber tire has an outside diameter of $25$ in. When the radius has been decreased a quarter of an inch, the number of revolutions in one mile will:

aumenta aproximadamente un $2\%$

be increased about $2\%$

aumenta aproximadamente un $1\%$

be increased about $1\%$

aumenta aproximadamente un $20\%$

be increased about $20\%$

aumenta un $\dfrac12\%$

be increased $\dfrac12\%$

permanece igual

remain the same

Respuesta: A

Conceptos:circunferencia inverse proportion percent change

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Para una distancia fija, el número de vueltas es inversamente proporcional al radio de la rueda

For a fixed distance, the revolution count is inversely proportional to the wheel’s radius

Pista grande:

Compara el radio original $12.5$ con el nuevo radio $12.25$

Compare the original radius $12.5$ with the new radius $12.25$

Solución:

El radio original es de $12.5$ pulgadas y el nuevo radio es de $12.25$ pulgadas. Para una distancia fija, el número de vueltas varía en proporción inversa al radio, por lo que el aumento relativo es $\begin{aligned} \frac{12.5}{12.25}-1 &=\frac{50}{49}-1\\ &=\frac1{49}\\ &\approx2.04\%. \end{aligned}$ Esto es aproximadamente $2\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The original radius is $12.5$ inches and the new radius is $12.25$ inches. For a fixed distance, the number of revolutions varies inversely with radius, so the relative increase is $\begin{aligned} \frac{12.5}{12.25}-1 &=\frac{50}{49}-1\\ &=\frac1{49}\\ &\approx2.04\%. \end{aligned}$ This is about $2\%.$

Thus, the correct answer is A.

46.

Para que la ecuación $\dfrac{1+x}{1-x}=\dfrac{N+1}{N}$ sea cierta cuando $N$ es positivo, $x$ puede tomar:

For the equation $\dfrac{1+x}{1-x}=\dfrac{N+1}{N}$ to be true where $N$ is positive, $x$ can have:

cualquier valor positivo menor que $1$

any positive value less than $1$

cualquier valor menor que $1$

any value less than $1$

solo el valor cero

the value zero only

cualquier valor no negativo

any non-negative value

cualquier valor

any value

Respuesta: A

Conceptos:ecuación racional parameter range inequalities

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Multiplica en cruz y despeja $x$ en función de $N$

Cross-multiply and solve for $x$ in terms of $N$

Pista grande:

La ecuación se reduce a $x=\frac{1}{2N+1};$ despeja también $N$ de esta relación

The equation reduces to $x=\frac{1}{2N+1};$ also solve this relation for $N$

Solución:

Al multiplicar en cruz se obtiene $N(1+x)=(N+1)(1-x),$ así que $x(2N+1)=1$ y $x=\frac1{2N+1}.$ Todo $N$ positivo produce $0\lt x\lt1.$ Recíprocamente, para cualquier $0\lt x\lt1,$ $N=\frac{1-x}{2x}>0,$ por lo que existe tal $N.$

Por tanto, $x$ puede ser cualquier valor positivo menor que $1,$ y la respuesta correcta es A.

Cross-multiplication gives $N(1+x)=(N+1)(1-x),$ so $x(2N+1)=1$ and $x=\frac1{2N+1}.$ Every positive $N$ gives $0\lt x\lt1.$ Conversely, for any $0\lt x\lt1,$ $N=\frac{1-x}{2x}>0,$ so such an $N$ exists.

Thus, $x$ may be any positive value less than $1,$ and the correct answer is A.

47.

Un ingeniero dijo que podía terminar una sección de carretera en $3$ días con la cantidad actual de cierto tipo de máquina. Sin embargo, con $3$ máquinas más, el trabajo podría hacerse en $2$ días. Si todas las máquinas trabajan al mismo ritmo, ¿cuántos días tardaría una sola máquina en hacer el trabajo?

An engineer said he could finish a highway section in $3$ days with his present supply of a certain type of machine. However, with $3$ more of these machines the job could be done in $2$ days. If the machines all work at the same rate, how many days would it take to do the job with one machine?

$6$

$12$

$15$

$18$

$36$

Respuesta: D

Conceptos:work rates inverse proportion ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Sea $m$ el número actual de máquinas y mide el trabajo en máquina-días

Let $m$ be the present number of machines and measure work in machine-days

Pista grande:

Iguala $3m$ con $2(m+3)$

Equate $3m$ with $2(m+3)$

Solución:

Si actualmente hay $m$ máquinas, el trabajo requiere $3m$ máquina-días. Con tres máquinas más requiere $2(m+3)$ máquina-días, así que $3m=2(m+3),$ de donde $m=6.$ Por lo tanto, el trabajo requiere $3m=18$ máquina-días, de modo que una sola máquina tardaría $18$ días.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If there are presently $m$ machines, the job requires $3m$ machine-days. With three more machines it requires $2(m+3)$ machine-days, so $3m=2(m+3),$ giving $m=6.$ The job therefore requires $3m=18$ machine-days, so one machine would take $18$ days.

Thus, the correct answer is D.

48.

Si $p$ es un entero positivo, entonces $\dfrac{3p+25}{2p-5}$ puede ser un entero positivo si y solo si $p$ es:

If $p$ is a positive integer, then $\dfrac{3p+25}{2p-5}$ can be a positive integer, if and only if $p$ is:

al menos $3$

at least $3$

igual a $3,$ $5,$ $9,$ o $35$

equal to $3,$ $5,$ $9,$ or $35$

no mayor que $35$

no more than $35$

igual a $35$

equal to $35$

igual a $3$ o $35$

equal to $3$ or $35$

Respuesta: B

Conceptos:integer divisibility rational expression factor divisors

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Sea $q=2p-5;$ la positividad obliga a que $q$ sea un entero impar positivo

Let $q=2p-5;$ positivity forces $q$ to be a positive odd integer

Pista grande:

Reescribe el cociente como $\frac{3+\frac{65}{q}}{2},$ de modo que $q$ debe ser un divisor positivo de $65$

Rewrite the quotient as $\frac{3+\frac{65}{q}}{2},$ so $q$ must be a positive divisor of $65$

Solución:

Sea $q=2p-5.$ Para que el cociente sea positivo se requiere $q>0,$ y $q$ es impar. Como $p=\frac{q+5}{2},$ $\begin{aligned} \frac{3p+25}{2p-5} &=\frac{3q+65}{2q}\\ &=\frac{3+\frac{65}{q}}{2}. \end{aligned}$ Así, $q$ debe ser un divisor positivo de $65.$ Las posibilidades $q=1,$ $q=5,$ $q=13,$ y $q=65$ dan $p=3,$ $p=5,$ $p=9,$ y $p=35,$ respectivamente, y cada una funciona. Ningún otro entero positivo $p$ funciona.

Por lo tanto, el conjunto matemáticamente correcto es $\{3,5,9,35\},$ que aparece en la opción ajustada B.

Set $q=2p-5.$ A positive quotient requires $q>0,$ and $q$ is odd. Since $p=\frac{q+5}{2},$ $\begin{aligned} \frac{3p+25}{2p-5} &=\frac{3q+65}{2q}\\ &=\frac{3+\frac{65}{q}}{2}. \end{aligned}$ Thus $q$ must be a positive divisor of $65.$ The possibilities $q=1,$ $q=5,$ $q=13,$ and $q=65$ give $p=3,$ $p=5,$ $p=9,$ and $p=35,$ respectively, and each works. No other positive integer $p$ works.

Therefore the mathematically correct set is $\{3,5,9,35\},$ shown in the adjusted choice B.

49.

El triángulo $PAB$ está formado por tres tangentes al círculo $O$ y $\angle APB=40^\circ;$ entonces el ángulo $AOB$ es igual a:

Triangle $PAB$ is formed by three tangents to circle $O$ and $\angle APB=40^\circ;$ then angle $AOB$ equals:

$45^\circ$

$50^\circ$

$55^\circ$

$60^\circ$

$70^\circ$

Respuesta: E

Conceptos:excircle angle bisectors triangle angles

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

El círculo es tangente a un lado del triángulo $PAB$ y a las prolongaciones de los otros dos, por lo que $O$ es el excentro opuesto a $P$

The circle is tangent to one side of triangle $PAB$ and the extensions of the other two, so $O$ is the excenter opposite $P$

Pista grande:

Las bisectrices de los ángulos exteriores en $A$ y $B$ forman un ángulo de $90^\circ-\frac12\angle P$

The external angle bisectors at $A$ and $B$ form an angle of $90^\circ-\frac12\angle P$

Solución:

El círculo se encuentra al otro lado de $AB,$ respecto de $P,$ por lo que $O$ es el excentro opuesto a $P.$ Así, $AO$ y $BO$ bisecan los ángulos exteriores en $A$ y $B.$ Si los ángulos interiores en $A$ y $B$ son $\alpha$ y $\beta,$ entonces el triángulo $AOB$ tiene en $A$ y $B$ ángulos de $90^\circ-\frac{\alpha}{2}$ y $90^\circ-\frac{\beta}{2},$ respectivamente. Por tanto, $\begin{aligned} \angle AOB &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &\mathrel{\phantom{=}}-\left(90^\circ-\frac\beta2\right)\\ &=\frac{\alpha+\beta}{2} =\frac{180^\circ-40^\circ}{2}\\ &=70^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle lies opposite $P$ across side $AB,$ so $O$ is the excenter opposite $P.$ Thus $AO$ and $BO$ bisect the exterior angles at $A$ and $B.$ If the interior angles at $A$ and $B$ are $\alpha$ and $\beta,$ then triangle $AOB$ has angles $90^\circ-\frac{\alpha}{2}$ and $90^\circ-\frac{\beta}{2}$ at $A$ and $B.$ Hence $\begin{aligned} \angle AOB &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &\mathrel{\phantom{=}}-\left(90^\circ-\frac\beta2\right)\\ &=\frac{\alpha+\beta}{2} =\frac{180^\circ-40^\circ}{2}\\ &=70^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

50.

En el triángulo $ABC,$ $CA=CB.$ Sobre $CB$ se construye el cuadrado $BCDE$ hacia el exterior del triángulo. Si $x$ es el número de grados del ángulo $DAB,$ entonces

In triangle $ABC,$ $CA=CB.$ On $CB$ square $BCDE$ is constructed away from the triangle. If $x$ is the number of degrees in angle $DAB,$ then

$x$ depende del triángulo $ABC$

$x$ depends upon triangle $ABC$

$x$ es independiente del triángulo

$x$ is independent of the triangle

$x$ puede ser igual al ángulo $CAD$

$x$ may equal angle $CAD$

$x$ nunca puede ser igual al ángulo $CAB$

$x$ can never equal angle $CAB$

$x$ es mayor que $45^\circ$ pero menor que $90^\circ$

$x$ is greater than $45^\circ$ but less than $90^\circ$

Respuesta: B

Conceptos:triángulo isósceles square construction geometría analítica

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Escala $CA=CB$ a $1,$ y coloca $C=(0,0),$ $B=(1,0),$ $A=(\cos\theta,\sin\theta)$

Scale $CA=CB$ to $1,$ and place $C=(0,0),$ $B=(1,0),$ $A=(\cos\theta,\sin\theta)$

Pista grande:

Como el cuadrado está fuera del triángulo, toma $D=(0,-1)$ y compara los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AD}$

Because the square is outside the triangle, take $D=(0,-1)$ and compare vectors $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{AD}$

Solución:

Escalamos los lados iguales a $1$ y colocamos $\begin{aligned} C&=(0,0),\qquad B=(1,0),\\ A&=(\cos\theta,\sin\theta). \end{aligned}$ Como el cuadrado $BCDE$ se construye hacia el exterior del triángulo, $D=(0,-1).$ Sea $c=\cos\theta$ y $s=\sin\theta.$ Entonces $\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1-c,-s),\\ \overrightarrow{AD}&=(-c,-1-s). \end{aligned}$ Su producto punto es $1+s-c,$ mientras que el valor absoluto de su producto cruzado bidimensional también es $1+s-c.$ Por lo tanto, $\tan\angle DAB=1,$ de modo que $\angle DAB=45^\circ,$ independientemente de $\theta$ y, por tanto, de la forma del triángulo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Scale the equal sides to $1$ and place $\begin{aligned} C&=(0,0),\qquad B=(1,0),\\ A&=(\cos\theta,\sin\theta). \end{aligned}$ Since square $BCDE$ is constructed away from the triangle, $D=(0,-1).$ Put $c=\cos\theta$ and $s=\sin\theta.$ Then $\begin{aligned} \overrightarrow{AB}&=(1-c,-s),\\ \overrightarrow{AD}&=(-c,-1-s). \end{aligned}$ Their dot product is $1+s-c,$ while the absolute value of their two-dimensional cross product is also $1+s-c.$ Therefore $\tan\angle DAB=1,$ so $\angle DAB=45^\circ,$ independent of $\theta$ and hence independent of the triangle’s shape.

Thus, the correct answer is B.

Problemas del 1956 AMC 12

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1180

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Pista grande: