1956 AMC 12 Problema 42

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42.

La ecuación x+4x3+1=0\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1=0 tiene:

The equation x+4x3+1=0\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1=0 has:

ninguna raíz

no root

una raíz real

one real root

una raíz real y una raíz imaginaria

one real root and one imaginary root

dos raíces imaginarias

two imaginary roots

dos raíces reales

two real roots

Respuesta: A
Conceptos:radical equationinequalitiesreal domain
Nivel de dificultad: 1280
Pista pequeña:

Para que las raíces cuadradas sean reales, el dominio exige x3x\ge3

For real square roots the domain requires x3x\ge3

Pista grande:

En ese dominio, compara directamente x+4\sqrt{x+4} con x3\sqrt{x-3}

On that domain, compare x+4\sqrt{x+4} directly with x3\sqrt{x-3}

Solución:

Para que haya una solución real, x3.x\ge3. Entonces x+4>x3,x+4>x-3, por lo que x+4>x3. \sqrt{x+4}>\sqrt{x-3}. En consecuencia, x+4x3+1>1,\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1>1, y no puede ser igual a cero. La ecuación original es una expresión radical real, por lo que las raíces no reales están fuera de su dominio.

La respuesta correcta es A.

For a real solution, x3.x\ge3. Then x+4>x3,x+4>x-3, so x+4>x3. \sqrt{x+4}>\sqrt{x-3}. Consequently x+4x3+1>1,\sqrt{x+4}-\sqrt{x-3}+1>1, and it cannot equal zero. The original equation is a real radical expression, so nonreal roots are outside its domain.

The correct answer is A.

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